地特四等申論題
106年
[統計] 統計學概要
第 一 題
📖 題組：
設 X1, X2, ..., X7 為抽自具有常態分配 N(0, σ^2) 之一組隨機樣本。（每小題 10 分，共 20 分）
設 X1, X2, ..., X7 為抽自具有常態分配 N(0, σ^2) 之一組隨機樣本。（每小題 10 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
請求出 c 值以使 c(X1 + X2 + X3) / √(X4^2 + X5^2 + X6^2 + X7^2) 具有 t 分配。
思路引導 VIP
看到求變數轉換後的特定分配，應直覺想到 t 分配的原始定義：標準常態變數除以「卡方變數除以其自由度」的平方根。分別將分子轉換為標準常態分配 N(0,1)，分母轉換為卡方分配，並利用樣本獨立性說明分子分母獨立，即可推導出 c 值。
小題 (二)
請求出 d 值以使 d(X1^2 + X2^2 + X3^2) / (X4^2 + X5^2 + X6^2 + X7^2) 具有 F 分配。
思路引導 VIP
看到此題，應先聯想到「F 分配是由兩個獨立的卡方分配除以各自自由度所構成的比例」。將常態變數標準化後平方可轉換為卡方分配，再根據分子與分母的變數個數推導出自由度，即可求出對應的常數 d。