第 二 題

本題涉及變數轉換。首先找出 $V = T_1^2 + T_2^2 + T_3^2$ 的分配，這是一個卡方分配的倍數（即伽瑪分配）。接著，利用單調變數轉換法（Transformation of variables），透過 Jacobian 決定 $S = sqrt{V}$ 的 PDF。注意 $S$ 代表的是三維空間中的徑向距離，在統計上常與 Maxwell-Boltzmann 分配或更廣義的 Chi 分配相關。

首先，將服從常態分配的變數標準化，因為卡方分配（Chi-square distribution）的定義建立在標準常態變數的平方和之上。$T_i sim N(0, 4)$，則 $Z_i = T_i/2 sim N(0, 1)$。接著，識別出 $T_1^2 + T_2^2$ 可以轉換為 $4 imes (Z_1^2 + Z_2^2)$，其中括號內的部分服從自由度為 2 的卡方分配。最後，利用 $chi^2(2)$ 與指數分配的關係來簡化機率計算。

觀察 $W$ 的構造：分子是獨立卡方變數，分母是分子加上另一個獨立卡方變數。這完全符合 Beta 分配的定義。首先將其標準化為標準卡方變數之比，確認參數值（自由度除以 2），直接引用 Beta 分配的 PDF 即可，不建議手動積分。

利用對稱性（Symmetry）或公式解。由於 $T_1$ 與 $T_2$ 是獨立且分配相同（i.i.d.），$T_1^2$ 與 $T_2^2$ 也是 i.i.d.，這意味著 $E[T_1^2/(T_1^2+T_2^2)]$ 必然等於 $E[T_2^2/(T_1^2+T_2^2)]$。此外，若已確定 $W sim ext{Beta}(1/2, 1/2)$，也可直接帶入 Beta 分配的期望值公式。

將複雜的邏輯判斷式轉換為簡單的事件集合運算。$Min(A, B) < 0$ 等價於 $A < 0$ 聯集 $B < 0$。設 $M = Max(T_1, T_2)$，我們要算的是 $P(M < 0 cup T_3 < 0)$。接著利用排容原理，結合 $T_i$ 彼此獨立及常態分配對稱於 0 的性質（$P(T_i < 0) = 0.5$）進行求解。

識別分配型態：$X_i$ 服從幾何分配（Geometric distribution），其定義是成功前的失敗次數，範圍為 ${0, 1, 2, dots}$。要求 $P(X_1 ge X_2)$，可以利用對稱性與總機率公理。$P(X_1 > X_2) + P(X_2 > X_1) + P(X_1 = X_2) = 1$。由於 $X_1, X_2$ 是 i.i.d.，則 $P(X_1 > X_2) = P(X_2 > X_1)$。因此 $P(X_1 ge X_2) = rac{1 + P(X_1 = X_2)}{2}$。重點轉向計算 $P(X_1 = X_2)$。