普考申論題 111年 [經建行政] 統計學概要

第二題

📖 題組：
假設一位大學生每月食用的比薩餅數量具有常態分配，平均值為 10 個，標準差為 3 個。 (一)一位大學生每月食用超過 12 個比薩餅的機率是多少？（5 分） (二)在 25 個學生的隨機樣本中，每月總共食用超過 275 個比薩餅的機率是多少？（10 分）

📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (二)

在 25 個學生的隨機樣本中，每月總共食用超過 275 個比薩餅的機率是多少？（10 分）

本題考查『常態分配的線性組合』與『抽樣分配』的應用。看到求隨機樣本總和的機率，應先計算『樣本總和』的期望值與變異數，確立其抽樣分配後，再利用 Z 分數標準化查表求出機率。

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【解題關鍵】利用常態母體之樣本總和的抽樣分配性質，進行 Z 分數標準化後計算機率。【解答】計算：

一位大學生每月食用超過 12 個比薩餅的機率是多少？（5 分）

看到題目給定『常態分配』的平均數與標準差，並要求計算單一觀測值大於某數值的機率時，應立即想到進行『標準化轉換』。利用公式 Z = (X - μ) / σ 將變數轉為標準常態變數，再透過查表求得尾部機率。

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【解題關鍵】利用標準化公式 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ 將常態分配轉換為標準常態分配，再計算對應之機率。【解答】計算：

P(Z>z_alpha)=alpha z_0.05=1.645 z_0.025=1.96 z_0.2514=0.67 z_0.0475=1.67 z_0.0606=1.55

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