第 三 題

本題考查「相位邊界（Phase Margin, PM）」的逆向設計。首先，回想相位邊界的定義：$PM = 180^\circ + \angle G(j\omega_{gc})$。已知目標 PM 為 $135^\circ$，可反推出系統在增益交越頻率 $\omega_{gc}$ 時所需的相位角。利用一階系統的相位方程式 $-\tan^{-1}(\omega_{gc})$ 解出 $\omega_{gc}$。最後，根據增益交越頻率的定義 $|G(j\omega_{gc})| = 1$，將求得的 $\omega_{gc}$ 代入增益方程式，即可解出對應的 $K$ 值。

看到本題，首先要辨別圖一的方塊圖結構，這是一個標準的回授控制系統。關鍵在於加法器（summing junction）的符號：上方是輸入 $r(t)$，下方是回授訊號。雖然圖示上回授端的加減符號略顯模糊，但在一般自動控制的考題中，若無特別聲明正回授，通常預設為單位負回授系統（實務上可於答題時註明假設為負回授）。接著，寫出開迴路轉移函數 $G(s)$，並求出閉迴路轉移函數 $T(s) = Y(s)/R(s)$。給定 $K=1$ 及單位步階輸入 $R(s)=1/s$，代入後得到 $Y(s)$，最後利用部分分式展開及逆拉普拉斯轉換（Inverse Laplace Transform）求得時間域響應 $y(t)$。

本題測驗頻率響應中的「增益邊界（Gain Margin, GM）」。思考步驟：首先，寫出開迴路轉移函數 $G(s)$。接著，將 $s$ 替換為 $j\omega$ 以獲得頻率響應函數 $G(j\omega)$。增益邊界的定義是：當系統相位角達到 $-180^\circ$ 時（即相位交越頻率 $\omega_{pc}$），其增益大小的倒數。你需要推導這是一階系統，評估其相位角是否可能達到 $-180^\circ$，進而推導出其增益邊界的值。