地特三等申論題
110年
[機械工程] 自動控制
第 一 題
📖 題組：
下圖為一閉迴路控制系統之方塊圖，其中 R(s) 與 Y(s) 分別表示輸入與輸出。 (圖中顯示前向路徑包含方塊 (s-1)/(s+2)²，反饋路徑包含方塊 Ks，採負回饋連接。)
下圖為一閉迴路控制系統之方塊圖，其中 R(s) 與 Y(s) 分別表示輸入與輸出。 (圖中顯示前向路徑包含方塊 (s-1)/(s+2)²，反饋路徑包含方塊 Ks，採負回饋連接。)
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
欲使此閉迴路控制系統穩定之 K 值範圍為何？（5 分）
思路引導 VIP
看到求取閉迴路系統穩定K值範圍的題目，應首先列出閉迴路特徵方程式 $1 + G(s)H(s) = 0$ 並整理成降冪多項式。接著利用羅斯-赫維茲準則 (Routh-Hurwitz criterion) ，確保所有係數大於零，即可解出對應的 $K$ 值範圍。
小題 (二)
假設 K 為一正實數，繪製此閉迴路控制系統之根軌跡圖（root locus plot），並標示出極點（pole）、零點（zero）、根軌跡與虛數軸交會之位置、根軌跡離開實數軸的位置（breakaway point）與進入實數軸的位置（re-entry point），以及各所對應之 K 值。（20 分）
思路引導 VIP
本題為標準的根軌跡繪製題，第一步需先整理出系統的開迴路轉移函數 L(s) = G(s)H(s)，從中找出極點與零點以判斷實數軸上的根軌跡分佈。接著，利用特徵方程式求出 dK/ds = 0 來計算分離點與會合點，並將 s = jω 代入特徵方程式求得與虛軸的交點及其對應的 K 值。
小題 (三)
欲使此二階系統的阻尼比（damping ratio）為 0.707 時，K 值該如何設計？且此設計的系統自然頻率（natural frequency）為何？（15 分）
思路引導 VIP
本題考查閉迴路系統的控制器設計與二階系統性能指標。解題首要步驟是利用 $1+G(s)H(s)=0$ 求出閉迴路特徵方程式，將其化為標準二階形式 $s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2=0$ 並進行比較係數求出 K 與 $\omega_n$。解出 K 值後務必利用系統穩定性條件（特徵方程式各項係數同號）進行篩選，剔除會造成右半平面極點的不合理根。