地特三等申論題 106年 [機械工程] 自動控制

第一題

📖 題組：
考慮一單位負回授（unity negative feedback）控制系統，其開迴路（open loop）轉移函數為 G(s) = K / [(s + 1)(s + 4)]。

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

欲使此控制系統對於步階輸入之穩態誤差（steady state error）為其步階輸入值之 5%，K 值應如何設計？（5 分）

看到「步階輸入的穩態誤差」，應立即聯想到系統型態與位置誤差常數（Kp）的定義。利用單位負回授系統穩態誤差公式 ess = A / (1 + Kp)，代入誤差比例條件即可反推所需的系統增益 K 值。

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【解題關鍵】利用位置誤差常數（Kp）與步階輸入穩態誤差（ess）的關係式進行反推計算。【解答】計算：

欲使此控制系統之阻尼比（damping ratio）為 0.707，K 值應如何設計？（10 分）

看到單位負回授系統，首先求出閉迴路特徵方程式。將其與標準二階系統特徵方程式（s^2 + 2ζω_n s + ω_n^2 = 0）進行係數比較，代入給定的阻尼比 ζ = 0.707（通常視為 1/√2），即可聯立解出自然頻率 ω_n 與目標增益值 K。

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【解題思路】求出系統之閉迴路特徵方程式，並與標準二階系統特徵方程式比較係數以求解 K 值。【詳解】已知：

欲使此控制系統之相位邊界（phase margin）為 45°，K 值應如何設計？（10 分）

看到相位邊界（PM）的設計題，首要想到 PM 的定義：在增益交越頻率（ωc）時的相位角加上 180°。解題策略分兩步：1. 利用 PM=45° 反推出相角為 -135°，透過正切和角公式解出 ωc；2. 將 ωc 代回大小響應等於 1 的條件（|G(jωc)|=1），即可求得目標 K 值。

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【解題思路】利用相位邊界條件求出增益交越頻率 $\omega_c$，再代回振幅為 1 的條件解出控制器增益 K。【詳解】已知：開迴路轉移函數 $G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+4)}$，目標相位邊界 $PM = 45^\circ$。