高考申論題
112年
[電子工程] 電磁學
第 一 題
📖 題組：
空氣中有一電荷 q，距離 r 處之電位 V = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r}，現若將另一電荷 Q，從無窮遠處移至距離 r 處，則所需能量為 U = QV = \frac{qQ}{4\pi\epsilon_0 r}，此能量即為保持此二電荷距離為 r 之能量，或稱該二電荷相關之靜電能 U。如圖一所示，現於空氣中有八個正電荷(1)~(8)，電荷量均為 q，分布於邊長為 a 之正立方體的八個頂點，於正立方體中心處放置一負電荷，電荷量為 Q。
空氣中有一電荷 q，距離 r 處之電位 V = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r}，現若將另一電荷 Q，從無窮遠處移至距離 r 處，則所需能量為 U = QV = \frac{qQ}{4\pi\epsilon_0 r}，此能量即為保持此二電荷距離為 r 之能量，或稱該二電荷相關之靜電能 U。如圖一所示，現於空氣中有八個正電荷(1)~(8)，電荷量均為 q，分布於邊長為 a 之正立方體的八個頂點，於正立方體中心處放置一負電荷，電荷量為 Q。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
試推導中心處負電荷 Q 與八個正電荷 q 相關之總靜電能 U_−。（10 分）
思路引導 VIP
看到本題，首先要辨識出這是點電荷系統靜電能的基礎計算。接著應該從幾何關係切入，計算正立方體中心到頂點的距離。中心負電荷 Q 與每一個角上的正電荷 q 的交互作用能量為單一對的靜電能。由於 8 個頂點的對稱性，只要算出單對的能量並乘以 8 即可得解。
小題 (二)
推導八個正電荷 q 相關之總靜電能 U_+。（10 分）
思路引導 VIP
這題要求推導頂點上八個電荷自己形成的系統總能量。應該利用系統儲存能量公式 U = (1/2) * 總和(q_i * V_i)。首先選定任一頂點（如頂點1），找出其餘七個頂點與它的相對距離：有3個相鄰點（邊長）、3個面對角線點、1個體對角線點。計算出該點的電位 V，再套用公式乘上 8 個頂點及 1/2 係數即可。
小題 (三)
由正電荷與負電荷之總靜電能 U = U_+ + U_− 觀點，寫出此九個電荷位置成穩定分布之條件式。依據此條件式，推導中心處負電荷 Q 之電荷量。（5 分）
思路引導 VIP
此題的破題關鍵在於理解何謂「穩定分布」。從能量觀點，電荷配置要穩定表示對於特徵尺寸（邊長 a）的變化，系統處於能量極值且無淨力。總能量可寫為 U(a) = k/a 的形式。為了讓所有電荷受力平衡 (F = -dU/da = 0)，必須使得 dU/da = -U/a = 0，這意味著只有當總能量 U = 0 時才能處於受力平衡（即正負位能完全抵銷）。將前兩題的結果相加等於0，即可解出 Q。