高考申論題
106年
[電子工程] 電磁學
第 三 題
📖 題組：
一、一邊長為L且中心位於原點的正立方體介質材料，其極化向量 $\vec{P} = P_0 (\vec{a}_x x + \vec{a}_y y + \vec{a}_z z)$。
一、一邊長為L且中心位於原點的正立方體介質材料，其極化向量 $\vec{P} = P_0 (\vec{a}_x x + \vec{a}_y y + \vec{a}_z z)$。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
(三)計算全部的極化電荷。（4 分）
思路引導 VIP
看到求『全部極化電荷』，直覺應想到介質在純極化過程中，總電荷必定守恆為零。可利用體極化電荷密度與表面極化電荷密度分別計算後相加來驗證，或直接使用高斯散度定理（Divergence Theorem）證明。
小題 (一)
(一)計算表面極化電荷密度。（8 分）
思路引導 VIP
看到給定極化向量與幾何邊界，應立即聯想到「表面極化電荷密度定義為極化向量與表面單位外向法向量的內積（$\rho_{ps} = \vec{P} \cdot \hat{a}_n$）」。接著依序確認正立方體六個面的邊界方程式與對應的法向量，將各邊界座標代入即可求得精確解。
小題 (二)
(二)計算體積極化電荷密度。（8 分）
思路引導 VIP
看到極化向量求極化電荷密度，直接聯想微觀尺度下的高斯定律與極化現象。核心觀念為「體積極化電荷密度等於極化向量散度的負值（ρ_pv = -∇·P）」，在直角座標系下對各空間分量分別取偏微分即可迅速得分。
極化電荷總量計算
💡 介質材料內，體極化電荷與面極化電荷之代數和恆等於零。
🔗 總極化電荷驗證計算鏈
- 1 散度運算 — 求出體極化電荷密度 ρpv = -∇ ⋅ P
- 2 體積分 — 對 ρpv 進行體積分求出總體電荷 Qpv
- 3 法向投影 — 於各交界面求 ρps = P ⋅ an
- 4 面積分 — 對各面 ρps 積分求出總面電荷 Qps
- 5 總和驗證 — 確認 Qtotal = Qpv + Qps = 0
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🔄 延伸學習：延伸學習：當介質不均勻或存在界面電荷時，此守恆特性仍適用於束縛電荷系統。
