第 一 題

本題是經典的靜電學問題。首先，觀察電場分布具備「球對稱性」，這暗示應使用球座標系處理。求電荷密度 \rho_v 時，應聯想到高斯定律的微分形式 \nabla \cdot $\vec{D} = \rho_v$，利用散度運算子處理分段函數。求電位 V 時，應利用電位與電場的關係 V = -\int $\vec{E} \cdot d\vec{l}$，並設定無窮遠處為參考零點 (V($\infty)=0)$。計算時須注意：1. 球座標下的散度公式；2. 積分路徑需由外向內，且電位在分界面 R=b 必須連續。

計算靜電能量有兩種途徑：1. 電荷分布與電位的體積分 ($\frac{1}{2} \int \rho_v V dv)$；2. 電場能量密度的體積分 ($\frac{1}{2} \int \epsilon_0 E^2 dv)$。鑑於電場分布已給定，直接對電場平方進行全空間積分較為直觀。請記得體積元素 dv 在球座標下為 R^2 \sin$\theta dR d\theta d\phi$，由於球對稱，可簡化為 4$\pi R^2 dR$。