地特三等申論題
111年
[電子工程] 電磁學
第 一 題
一、一球形電容器由兩同球心之金屬球面所組成，這兩金屬球之半徑分別為a 及 b，a < b，外金屬球接地，而內金屬球之電位為V0，V0為常數。試求在這兩金屬球面空間中之電位分布。（25 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
這是一道經典的邊界值問題（Boundary Value Problem）。看到無自由電荷的空間電位求解，應立即想到使用「拉普拉斯方程式（Laplace's equation）」。利用球對稱特性簡化方程式，求出通解後，再代入內外球面的電位邊界條件，即可解出常數並得到空間中的電位分佈。
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【解題思路】利用無電荷空間的拉普拉斯方程式（Laplace's Equation）配合邊界條件求解電位函數。 【詳解】 已知：
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球形電容器電位分布
💡 利用球座標拉普拉斯方程式配合邊界條件求解電位分布。
🔗 電位分布推導流程
- 1 建立方程式 — 依對稱性列出球座標拉普拉斯方程式
- 2 兩次積分 — 求得通解 V(r) = C1/r + C2
- 3 代入邊界條件 — 利用 V(a)=V0 與 V(b)=0 聯立求解常數
- 4 化簡結果 — 整理出隨半徑 r 變化的電位分布函數
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🔄 延伸學習：延伸學習：可進一步由電位梯度求電場 E，並計算電容量 C = Q/V。
