地特三等申論題
110年
[電子工程] 電磁學
第 一 題
📖 題組：
一同軸線其內外金屬導線半徑為 a 及 b，其間為空氣（介電係數 ε₀），已知單位長度 l 之內外金屬導線帶有電荷量 Qₗ 及 -Qₗ。
一同軸線其內外金屬導線半徑為 a 及 b，其間為空氣（介電係數 ε₀），已知單位長度 l 之內外金屬導線帶有電荷量 Qₗ 及 -Qₗ。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
推導內外金屬導線間 (a < r < b) 之電場 E(r) 大小及電位差 ΔV = Vₐ - V_b 表示式。（10 分）
思路引導 VIP
看到同軸線與無限長電荷分佈，應立即想到「圓柱對稱性」，優先使用高斯定律（Gauss's Law）並選取適當的圓柱高斯面來求取區域內的電場強度。接著，利用電場與電位的線積分關係（V = -∫E·dl），沿著徑向從外導體積分至內導體，即可求得兩者間的電位差。
小題 (二)
推導單位長度之電容值 Cₗ = Qₗ / ΔV。（5 分）
思路引導 VIP
面對求取特定幾何形狀（如圓柱體、球體）的電容題型，應建立標準的『三步解題法』：1. 利用高斯定律求出空間中的電場分佈；2. 將電場做線積分求得兩極板（或導體）間的電位差；3. 代入電容定義式 C = Q / ΔV 即可得解。
小題 (三)
若同軸線外金屬導線半徑 b 為固定，推導內金屬導線半徑 a 值，使電場 E(a) 為最小，且推導此時之單位長度電容值 Cₗ。（10 分）
思路引導 VIP
面對同軸電纜求電場極值的經典問題，首先應直覺想到應用「高斯定律」推導空間中電場分佈 E(r)，並積分求得內外導體電位差 V。需特別注意，實務與考題中要求「使電場最小」的最佳化條件，隱含著「外加電壓 V 固定」的物理前提，將 E(a) 轉換為 V 與 a 的函數後，利用微積分求導等於零即可解得最佳半徑比與電容值。