高考申論題
113年
[地震測報] 時序分析
第 一 題
📖 題組：
有三個時間序列 x(t)、y(t)和 o(t)，有 x(t)*y(t) = o(t)的關係，其中符號" ∗ "表示摺積（convolution），以符號" ⊗ "表示相關運算（correlations），請回答下列問題：
有三個時間序列 x(t)、y(t)和 o(t)，有 x(t)*y(t) = o(t)的關係，其中符號" ∗ "表示摺積（convolution），以符號" ⊗ "表示相關運算（correlations），請回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 5 小題
小題 (一)
請寫出 x(t)與 y(t)的摺積數學積分型式。（3 分）
思路引導 VIP
看到連續時間序列的「摺積」運算，直接聯想其數學定義積分式。核心概念是引入積分輔助變數（如 τ），將其中一個訊號反轉並平移，再與另一個訊號相乘後於整個實數區間進行積分。
小題 (二)
承(一)，並說明此積分的意義。（可繪圖輔助說明）（7 分）
思路引導 VIP
本題測驗摺積（Convolution）的實體意義。解題時應將摺積積分公式拆解為四個幾何與數學動作（翻轉、平移、相乘、積分），並進一步結合線性非時變（LTI）系統的觀點，說明輸出信號是過去輸入信號與系統脈衝響應的線性疊加。
小題 (三)
從 x(t)和 o(t)求 y(t)或從 y(t)和 o(t)求 x(t)，稱為反摺積（deconvolution），地震學上，經常利用反摺積來去除地震儀器響應（instrumental response）、反演震源時間函數（source time function）、推導接收函數（receiver function）等等。請從頻率域說明如何進行反摺積以求得 y(t)？請問這樣的做法會造成何種問題？該如何解決？（10 分）
思路引導 VIP
看到反摺積，立刻聯想到傅立葉轉換的「摺積定理」（時域摺積等於頻域相乘）。將等式轉換至頻域進行除法運算時，必須察覺分母趨近於零會導致數值發散的「除以零」問題。解決方案應提出實務上頻譜穩定化的技術，如加入阻尼常數、水滴法 (Water-level) 或應用低通濾波器。
小題 (四)
在離散下，若x(t) = (2, 1, 3, 6, 4, 2, 2)和o(t) = (2, 5, 7, 23, 24, 31, 40, 26, 12, 10)，假設等間隔時間取樣為 1，第一點為時間 0，時間序列往右為時間增加，求 y(t) =？（請寫出計算過程）（5 分）
思路引導 VIP
看到離散摺積反求序列的題型，第一步應先透過摺積長度公式 N_o = N_x + N_y - 1 找出未知序列 y(t) 的長度。接著直接利用離散摺積的定義式，從第一項 o(0) 開始由前向後依序展開，將已知的 x(t) 數值代入，像解聯立方程式般逐步解出未知數即可。
小題 (五)
請證明a(t)*b(t) = a(-t)⊗b(t)。（5 分）
思路引導 VIP
看到此題，應立即聯想到連續系統中「摺積（Convolution）」與「互相關（Cross-correlation）」的數學積分定義式。解題關鍵在於從定義式出發，針對互相關的積分式進行變數代換（令 u = -τ），注意積分上下限的反轉與微分項負號的抵銷，即可完美推導出等價關係。