高考申論題
113年
[地震測報] 時序分析
第 一 題
📖 題組：
表面波（surface wave）是地震研究的重要震波之一，要計算表面波的群速（group velocity）經常利用高斯濾波器（Gaussian filter）來進行時頻分析（Time-Frequency analysis），請回答下列問題：
表面波（surface wave）是地震研究的重要震波之一，要計算表面波的群速（group velocity）經常利用高斯濾波器（Gaussian filter）來進行時頻分析（Time-Frequency analysis），請回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 5 小題
小題 (一)
何謂時頻分析？（3 分）
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看到「時頻分析」，應直覺聯想到傳統傅立葉轉換的局限性（無法得知特定頻率發生的時間點）。作答時需點出其「核心定義」（同時解析時間與頻率）、「適用對象」（非平穩訊號）以及「實務意義」（觀察頻譜隨時間的變化）。
小題 (二)
請寫出高斯濾波器在時間域和頻率域的一般表示式。（4 分）
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本題核心在考驗高斯函數傅立葉轉換對的熟悉度。看到時頻分析與高斯濾波器，應聯想到高斯函數在時域與頻域皆保持高斯鐘形（Gaussian bell）特徵，作答時務必明確寫出決定頻寬/時寬的控制參數（如 α 或 σ），若能補充地震分析常用的帶通（頻率平移）形式則更為完備。
小題 (三)
如何利用高斯濾波器進行時頻分析以求得表面波的群速？（8 分）
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考生看到此題應先聯想到表面波的「頻散（Dispersion）」特性，即不同頻率波的傳播速度不同。解題核心在於說明「多重濾波分析法（Multiple Filter Technique）」，描述如何利用高斯濾波器在頻域提取特定中心頻率的訊號，並轉回時域找出包絡線最大值對應的到達時間，進而計算出該頻率的群速。
小題 (四)
下圖是以某一中心頻率濾波後所得到頻率域的實部及虛部，請問該如何安排此實部及虛部，使其能正確逆轉換回到時間域？（可繪圖輔助說明）（5 分）
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看到這題先聯想「時間域為實數信號（Real Signal）」對應的「頻域共軛對稱性（Conjugate Symmetry）」。因此，逆轉換前必須將給定的單邊頻譜（正頻率 0 到 f_N），依據實部偶對稱、虛部奇對稱的原則，補齊完整的雙邊頻譜（如 -f_N 到 f_N 或 0 到 f_s），方能藉由 IFFT 正確還原為無虛部殘留的實數時域訊號。
小題 (五)
承(四)，若此頻譜為位移譜，請問在頻率域該如何處理，使其逆傳換回到時間域後變為速度紀錄？（5 分）
思路引導 VIP
看到由位移求速度，首先應聯想到物理定義：速度是位移對時間的一階微分。接著套用傅立葉轉換的「時間微分性質」，時域的微分操作對應於頻域中將頻譜乘以 $i\omega$（或 $i2\pi f$），即可得出處理方法。