高考申論題
113年
[天文] 近代物理
第 一 題
📖 題組：
普朗克定律（Planck's law）之關鍵公式的常見形式為 u(\nu, T) = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu/kT}-1}。
普朗克定律（Planck's law）之關鍵公式的常見形式為 u(\nu, T) = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu/kT}-1}。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
說明該式中所有符號的定義，以及該式的物理意義。（10 分）
思路引導 VIP
看到普朗克定律，應立刻聯想到黑體輻射光譜與能量量子化假說。作答時先逐一精確定義所有物理符號（包含名稱與常見國際標準單位），再從「古典物理的困境（紫外災難）」與「量子力學的開端（能量不連續）」兩個層面深入論述其物理意義與推導背景。
小題 (二)
以數學等式說明該式和 Stefan-Boltzmann Law 之間的關係。（10 分）
思路引導 VIP
看到由普朗克定律推導 Stefan-Boltzmann Law，考生應立刻想到「全頻率積分」。首先將普朗克能量密度分佈 $u(\nu, T)$ 對頻率 $\nu$ 從 $0$ 積分至 $\infty$，透過變數代換與標準定積分求出總能量密度 $U(T)$。接著利用 $R(T) = \frac{c}{4} U(T)$ 將其轉換為輻射出射度，即可導出 $R = \sigma T^4$ 及其常數表示式。