高考申論題
108年
[天文] 近代物理
第 二 題
📖 題組：
五、溫度為 4,000 K 的腔體有一半徑為 1.0 mm 的圓形孔洞。利用普郎克的輻射公式 uλdλ=[(8πhc/λ^5) / (ehc/λkT-1)]dλ 估算：（每小題 10 分，共 20 分） (一)在可見光區域（0.4-0.7 μm）內，由孔洞所發出的輻射功率。 (二)在可見光區域每秒由孔洞發出的光子數。（毋須積分，(一)(二)皆用平均波長估算，e^6.43=620, 5.5^-5=2×10^-4）
五、溫度為 4,000 K 的腔體有一半徑為 1.0 mm 的圓形孔洞。利用普郎克的輻射公式 uλdλ=[(8πhc/λ^5) / (ehc/λkT-1)]dλ 估算：（每小題 10 分，共 20 分） (一)在可見光區域（0.4-0.7 μm）內，由孔洞所發出的輻射功率。 (二)在可見光區域每秒由孔洞發出的光子數。（毋須積分，(一)(二)皆用平均波長估算，e^6.43=620, 5.5^-5=2×10^-4）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
在可見光區域每秒由孔洞發出的光子數。（毋須積分，(一)(二)皆用平均波長估算，e^6.43=620, 5.5^-5=2×10^-4）
思路引導 VIP
本題測驗普朗克輻射定律的應用。解題關鍵是利用輻射通量公式 R = (c/4)u 將能量密度轉換為孔洞的輻射功率，再以平均波長進行線性估算求出區間總功率，最後除以單一光子能量 E = hc/λ 即可得到每秒發出的光子數。注意善用題目給定的數學近似值以簡化繁雜的次方計算。
小題 (一)
在可見光區域（0.4-0.7 μm）內，由孔洞所發出的輻射功率。
思路引導 VIP
本題考查黑體輻射的定量計算。解題關鍵在於：首先，需利用關係式 R_λ = (c/4)u_λ 將給定的能量密度 u_λ 轉換為孔洞表面的輻射出射度；其次，依照題目要求以「平均波長」取代積分，並善用題目提供的指數與次方數值提示，確保計算過程中的數量級準確無誤。
普朗克輻射與光子數估算
💡 運用普朗克公式，經能量密度與通量轉換，估算區間內光子發射率。
🔗 輻射功率至光子數轉換流程
- 1 能量密度轉換 — 將 $u_\lambda$ 乘以 $c/4$ 得到輻射通量 $R_\lambda$
- 2 功率參數整合 — 納入孔洞面積 $A$ 與波長範圍 $\Delta\lambda$ 算出總功率
- 3 能數轉換 — 利用 $E = hc/\lambda$ 建立單一光子能量基準
- 4 光子通量產出 — 將總功率 $P$ 除以 $E$ 求得每秒發出光子總數
↓
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：此估算法在天文物理量測恆星光度與光譜分析中極為常見。
