高考申論題
108年
[天文] 近代物理
第 一 題
📖 題組：
四、有一束動能為 140 MeV 的 π+介子，通過三個相隔 10 m 的計數器 A、B、C。如果 1,000 個 π+介子通過計數器 A，470 個 π+介子通過計數器 B。試問：（每小題 10 分，共 20 分） (一)預計在 C 中會記錄多少個 π+介子？ (二)計算 π+介子平均壽命。（假設 π+介子的靜止質量為 140 MeV/c2，ln(1000/470)=0.755）
四、有一束動能為 140 MeV 的 π+介子，通過三個相隔 10 m 的計數器 A、B、C。如果 1,000 個 π+介子通過計數器 A，470 個 π+介子通過計數器 B。試問：（每小題 10 分，共 20 分） (一)預計在 C 中會記錄多少個 π+介子？ (二)計算 π+介子平均壽命。（假設 π+介子的靜止質量為 140 MeV/c2，ln(1000/470)=0.755）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
預計在 C 中會記錄多少個 π+介子？
思路引導 VIP
本題核心為「粒子衰變定律」的應用。由於介子做等速運動，通過相同距離（A到B與B到C皆為10 m）所需的時間相等。根據指數衰減特性，經過相同時間的粒子存活比例為常數，可直接利用等比關係求出通過C計數器的數量，第一小題完全不需要動用到相對論與壽命的計算。
小題 (二)
計算 π+介子平均壽命。（假設 π+介子的靜止質量為 140 MeV/c2，ln(1000/470)=0.755）
思路引導 VIP
首先利用相對論能量公式 E = K + E_0 求出洛倫茲因子 γ 與粒子飛行速度 v。接著，結合實驗室座標系的飛行時間、時間膨脹效應與放射性衰變定律 N(t) = N_0 e^{-t/γτ}，代入已知數據即可反推 π+ 介子的固有平均壽命 τ。
粒子衰變與等比關係
💡 粒子在等速運動下，通過等距離區間之存活數呈等比數列。
🔗 等距粒子衰減推導鏈
- 1 定速飛行 — 粒子以恆定速度 $v$ 通過等距計數器，間隔時間 $\Delta t$ 相同。
- 2 指數衰變 — 依定律 $N=N_0 e^{-\Delta t/\tau'}$，每段存活比例 $r$ 固定。
- 3 等比數列 — 數量關係為 $N_B/N_A = N_C/N_B = r$，形成等比數列。
- 4 求取數值 — 利用 $N_C = N_B^2 / N_A$ 求得預計記錄數量。
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🔄 延伸學習：延伸學習：若涉及高能粒子，需引入勞倫茲因子 $\gamma$ 修正實驗室時間與原時。
