第 三 題

開關打開（$t=100^+\text{ s}$）後，電路被切分為左右兩個獨立部分。我們需要專注在右半部包含電感 $0.4\text{ H}$ 與 $5 \Omega$ 電阻的迴路。此時應利用「電感電流不能突變」的特性（$i_L(100^+) = i_L(100^-) = 5\text{ A}$），來決定 $t=100^+\text{ s}$ 時右半部電路的電流。再根據電感電壓與電阻電壓在該閉合迴路中的關係，求出電感電壓 $v_L(100^+)$。請特別注意圖中 $v_L$ 的正負極性定義！

這是一題典型的一階暫態電路問題。在分析開關動作（t=100s）前後的電路時，首先要掌握電容與電感的關鍵物理特性：電容的電壓不能突變（$v_C(100^-) = v_C(100^+)$），電感的電流不能突變（$i_L(100^-) = i_L(100^+)$）。第一步先將電路在開關閉合「無限長時間」後（即 $t=100^-$ 瞬間）視為直流穩態，此時電容等效為開路、電感等效為短路。求得 $t=100^-$ 時的電容電壓後，即可利用電荷量公式 $q = C v_C$ 計算出開路前、後瞬間的電荷量。

承接子題(一)的直流穩態分析。由於開關閉合了極長時間，電感在 $t = 100^-$ 時已達到穩態，故可視為「短路」。利用基本的歐姆定律計算整個迴路的總電流，即可直接得出流經電感的電流值。此題屬於基本概念題，計算難度不高，重點在於穩態等效觀念的建立。

開關打開後，右半部的 RL 電路是一個「無源一階電路」（Source-free RL circuit）。在這樣一個電路中，唯一的能量來源就是電感在 $t=100\text{ s}$ 時所儲存的磁能。隨著時間趨於無限大（$t \to \infty$），電感所儲存的所有磁能都將經由 $5 \Omega$ 電阻以熱能的形式全部消耗掉。因此，我們不需要對電流進行積分，只需計算出電感在 $t=100^-$（或 $100^+$）時的初始儲能，該數值即等於電阻所消耗的總能量。這是一個絕佳的能量守恆思考切入點！