高考申論題
113年
[電子工程] 電磁學
第 一 題
📖 題組：
有一個金屬波導內部填充未知介電係數的介質，設其內有橫電波傳播，且其磁場 z 的分量如下： Hz = cos(100πx / 3) cos(3π * 10¹⁰ t - 221πz) (A/m) 。 波導 x 方向及 y 方向的尺寸為 a = 3 cm, b = 2 cm。 （每小題 10 分，共 20 分） (一) 求此模態的號碼。 (二) 求波導內部相對介電係數。
有一個金屬波導內部填充未知介電係數的介質，設其內有橫電波傳播，且其磁場 z 的分量如下： Hz = cos(100πx / 3) cos(3π * 10¹⁰ t - 221πz) (A/m) 。 波導 x 方向及 y 方向的尺寸為 a = 3 cm, b = 2 cm。 （每小題 10 分，共 20 分） (一) 求此模態的號碼。 (二) 求波導內部相對介電係數。
📝 此題為申論題，共 5 小題
小題 (一)
求此模態的號碼。
思路引導 VIP
這題考查矩形波導中的模態理論：
- 辨別波類：題目給出 Hz，且是橫電波（TE wave）。TE 模態的 Hz 形式為 Hz = H₀ cos(mπx/a) cos(nπy/b) cos(ωt - βz)。
小題 (二)
求波導內部相對介電係數。
思路引導 VIP
這題考查波導內的色散關係（Dispersion relation）：
- 提取頻率與相位常數：從 Hz 中得出 ω = 3π * 10¹⁰ rad/s，β = 221π rad/m。
小題 (三)
推導電壓相量 V(z) 及電流相量 I(z) 各自滿足的波動方程式。
思路引導 VIP
看到要求推導波動方程式，應立刻想到將一階聯立的傳輸線方程式（電報方程式相量式）進行「解耦合」。將電壓（或電流）方程式對空間變數 z 再微分一次，並代入另一條方程式，即可消去電流（或電壓）變數，得到各自獨立的二階常微分方程式。
小題 (四)
求解電壓相量 V(z) 及電流相量 I(z)。
思路引導 VIP
看到求解波動方程式，應立即聯想到二階常係數齊次微分方程的通解形式為自然指數函數的線性組合。寫出電壓的通解後，務必代回一階電報方程式（Telegrapher's equations），利用特徵阻抗（Z0）的定義推導出電流的通解，並明確標示兩者係數間的物理關聯性。
小題 (五)
推導傳播常數 γ 及特徵阻抗 Z0 與傳輸線分布式參數 (R, L, G, C) 的關係。
思路引導 VIP
看到推導傳播常數與特徵阻抗，應聯想先前子題推導出的「時間諧波傳輸線方程式」與「波動方程式」。由波動方程式的係數可直接定義並提取出傳播常數 γ；接著將電壓通解代入一階電報方程式中求得電流，藉由計算順向行進波的電壓與電流比值，即可嚴謹推導出特徵阻抗 Z0。