高考申論題
105年
[電子工程] 電磁學
第 一 題
📖 題組：
如圖四所示，為一由理想導體製成之矩形導波管，內部為真空，介電係數為 ε0、導磁係數為 μ0。假設導波管內部的磁場 z 分量為 Hz = H0 f(x)g(y)e^(-jkzz)，並滿足波動方程式 (∇^2 + k0^2)Hz = 0，其中 k0^2 = ω^2μ0ε0，kz 為電磁波在導波管內沿著 z 方向傳播的波數。電場的 x 分量及 y 分量可表示為 Ex = (-jωμ0 / (k0^2 - kz^2)) * (∂Hz / ∂y) 及 Ey = (jωμ0 / (k0^2 - kz^2)) * (∂Hz / ∂x)。（每小題配分如題末所示）
如圖四所示，為一由理想導體製成之矩形導波管，內部為真空，介電係數為 ε0、導磁係數為 μ0。假設導波管內部的磁場 z 分量為 Hz = H0 f(x)g(y)e^(-jkzz)，並滿足波動方程式 (∇^2 + k0^2)Hz = 0，其中 k0^2 = ω^2μ0ε0，kz 為電磁波在導波管內沿著 z 方向傳播的波數。電場的 x 分量及 y 分量可表示為 Ex = (-jωμ0 / (k0^2 - kz^2)) * (∂Hz / ∂y) 及 Ey = (jωμ0 / (k0^2 - kz^2)) * (∂Hz / ∂x)。（每小題配分如題末所示）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
推出 Ex及 Ey的表達式，內含 f (x)及 g (y)。（6 分）
思路引導 VIP
本題測驗矩形導波管中TE波之電場與磁場的耦合關係。解題關鍵在於理解偏微分運算，直接將分離變數形式的縱向磁場函數 Hz，代入題目給定的橫向電場 Ex、Ey 偏微分關係式中進行求解即可。
小題 (二)
列出在四片理想導體表面，電場分量須滿足的邊界條件。（4 分）
思路引導 VIP
看到理想導體（PEC）邊界，直覺反應應為「切向電場為零」（Et = 0）。解題時先由圖示判斷四面導體牆的座標位置（x=0, x=a, y=0, y=b），接著分析各牆面法向量對應的切向電場分量，即可精準列出邊界條件。
小題 (三)
求解 f (x)及 g (y)的外顯表達式，並註明可能存在的模式。（10 分）
思路引導 VIP
本題考查矩形導波管中波動方程式的求解與邊界條件的應用。看到此題應先想到利用「分離變數法」將波動方程式展開，接著依據理想導體（PEC）邊界上「切向電場為零」的特性，利用題幹給定的電場公式推導出邊界條件，最後解出空間函數 f(x) 及 g(y) 的形式，並判斷其對應的 TE_mn 模式。
小題 (四)
列出可能存在模式的 kz 外顯表達式，並註明各該模式可以沿著 z 方向傳播的頻率範圍。（5 分）
思路引導 VIP
本題重點在於求解矩形導波管中 TE 模態的傳播常數與截止頻率。解題思路應先利用理想導體的邊界條件（切向電場為零），求出波數在 x 與 y 方向的特徵值（kx, ky），再代回亥姆霍茲波動方程式求得 kz，最後依據 kz 為實數（波能傳播而不衰減）的條件，推導出該模態對應的頻率範圍。