高考申論題
105年
[電子工程] 電磁學
第 一 題
📖 題組：
如圖三所示，一平面諧波，角頻率為ω，自左側介質（μ0, ε1）垂直入射至右側介質（μ0, ε2）。該入射平面諧波之電場Ein、反射平面諧波之電場Ere及穿透平面諧波之電場Etr 可分別表示為 Ein = yE0e^(j(ωt - k1z))、Ere = yRE0e^(j(ωt + k1z)) 及 Etr = yTE0e^(j(ωt - k2z))，其中 R 及 T 分別為反射係數及穿透係數。（每小題配分如題末所示）
如圖三所示，一平面諧波，角頻率為ω，自左側介質（μ0, ε1）垂直入射至右側介質（μ0, ε2）。該入射平面諧波之電場Ein、反射平面諧波之電場Ere及穿透平面諧波之電場Etr 可分別表示為 Ein = yE0e^(j(ωt - k1z))、Ere = yRE0e^(j(ωt + k1z)) 及 Etr = yTE0e^(j(ωt - k2z))，其中 R 及 T 分別為反射係數及穿透係數。（每小題配分如題末所示）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
根據 Ampere's law：∇×H = jωεE 及 Faraday's law：∇×E = -jωμH，分別推導 k1與（μ0, ε1）的關係式及 k2與（μ0, ε2）的關係式。（6 分）
思路引導 VIP
本題重點在於檢驗空間相量（Phasor）在馬克士威旋度方程式中的應用。解題時，應先將時諧電場轉換為相量形式，依序代入法拉第定律求出磁場，再將該磁場代入安培定律。透過兩側向量係數的比較，即可推導出波數 $k$ 與介質參數的色散關係。
小題 (二)
根據 Faraday's law：∇×E = -jωμH，分別推導入射平面諧波之磁場Hin、反射平面諧波之磁場Hre及穿透平面諧波之磁場Htr 的表達式。（9 分）
思路引導 VIP
此題測驗考生對於 Maxwell's Equations 中 Faraday's Law 相量形式的實際推導能力。觀察已知電場僅有 y 方向分量且僅隨 z 方向變化，解題第一步應先將旋度 ∇×E 簡化為 -x̂(∂Ey/∂z)。接著分別對三個電場表示式進行 z 的偏微分，最後代入 H = (-1/jωμ0)∇×E 即可得到對應的磁場。
小題 (三)
列出在兩介質交界處之電場及磁場的邊界連續條件。（6 分）
思路引導 VIP
面對邊界條件題型，首先應回憶麥克斯韋方程組導出的四大邊界條件，明確區分『法向』與『切向』分量。接著，根據題目所給的理想介質特性（無表面電荷與電流），以及平面波垂直入射（只有切向場）的幾何條件，將通用公式化簡為針對該題的具體連續方程式。
小題 (四)
求解上述邊界條件，得出 R 及 T 的表達式。（4 分）
思路引導 VIP
看到此類平面波垂直入射問題，應立刻聯想到「電磁場切向分量連續」的邊界條件。第一步先利用波的傳播方向與本質阻抗，寫出對應的磁場表示式；第二步在介質交界面（z=0）列出電場與磁場的連續方程式；最後聯立兩式，即可解出反射係數（R）與穿透係數（T）。