高考申論題
111年
[電子工程] 電磁學
第 一 題
📖 題組：
在 xy 平面下方(z < 0) 為介質一，介電係數及導磁係數為 (ε₁, μ₁)。在 xy 平面上方(z > 0) 為介質二，介電係數及導磁係數為 (ε₂, μ₂)。一平面波自下方入射，其磁場表達式為 Hⁱ = y_hat H₀ e^(-jkₓ x - jkᵢz z)，在介質一產生一反射波，其磁場表達式為 Hʳ = y_hat R H₀ e^(-jkᵣₓ x + jkᵣz z)，在介質二產生一折射波，其磁場表達式為 Hᵗ = y_hat T H₀ e^(-jkₜₓ x - jkₜz z)。
在 xy 平面下方(z < 0) 為介質一，介電係數及導磁係數為 (ε₁, μ₁)。在 xy 平面上方(z > 0) 為介質二，介電係數及導磁係數為 (ε₂, μ₂)。一平面波自下方入射，其磁場表達式為 Hⁱ = y_hat H₀ e^(-jkₓ x - jkᵢz z)，在介質一產生一反射波，其磁場表達式為 Hʳ = y_hat R H₀ e^(-jkᵣₓ x + jkᵣz z)，在介質二產生一折射波，其磁場表達式為 Hᵗ = y_hat T H₀ e^(-jkₜₓ x - jkₜz z)。
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
推導入射波、反射波、折射波的電場表達式。（10 分）
思路引導 VIP
這是斜向入射問題。磁場 H 僅有 y 分量，說明這是一個 TM 波（磁場垂直入射面，又稱平行極化波）。1. 核心公式：利用馬克士威方程 ∇ × H = jωεE，或直接利用波阻抗 η 與傳播方向 k 的關係：E = -η (k_hat × H)。2. 確定傳播向量：入射方向 k_i = kₓ aₓ + kᵢz a_z。3. 運算：分別對入射、反射、折射三者計算其對應的 E 場分量（會有 x 和 z 分量）。
小題 (二)
列出入射波、反射波、折射波的波數向量色散條件。（5 分）
思路引導 VIP
色散條件（Dispersion Condition）即是波數向量的大小與頻率、介質參數之間的關係。核心公式為 k² = kₓ² + k_z² = ω²με。
小題 (三)
從在 z = 0 的邊界條件推論相位匹配條件，kₓ = kᵣₓ = kₜₓ。（5 分）
思路引導 VIP
「相位匹配」來自於邊界上切線場分量必須連續的要求。1. 選擇切線分量（H_y 或 E_x）。2. 在 z = 0 處，指數部分必須相等，才能保證對於所有的 x，等式皆成立。3. 這直接導致了空間變化率（kₓ）必須一致。
小題 (四)
從在 z = 0 的邊界條件推出反射係數 R 和折射係數 T 的表達式。（10 分）
思路引導 VIP
利用切線分量連續：1. H_y 連續：1 + R = T。2. E_x 連續：入射 E_x + 反射 E_x = 折射 E_x。3. 將第一小題求得的 E_x 表達式代入，聯立方程組解 R 與 T。