高中學測
113年
數A
第 10 題
坐標平面上有一正方形與一正六邊形，正方形在正六邊形的右邊。已知兩正多邊形都有一邊在 $x$ 軸上，且正方形中心 $A$ 與正六邊形中心 $B$ 都在 $x$ 軸的上方，且兩多邊形恰有一個交點 $P$，又知正方形的邊長為 6，而點 $P$ 到 $x$ 軸的距離為 $2\sqrt{3}$。試選出正確的選項。
- 1 點 $A$ 到 $x$ 軸的距離大於點 $B$ 到 $x$ 軸的距離
- 2 正六邊形的邊長為 6
- 3 $\overrightarrow{BA} = (7, 3-2\sqrt{3})$
- 4 $\overline{AP} > \sqrt{10}$
- 5 直線 $AP$ 斜率大於 $-\frac{1}{\sqrt{3}}$
思路引導 VIP
本題核心在於多邊形的幾何特徵與座標解析。請思考：當正方形與正六邊形在 $x$ 軸上方恰交於一點 $P$ 時，該點在兩圖形的邊界上應具備何種幾何性質？已知正方形邊長為 $6$，其中心 $A$ 的 $y$ 座標為何？再者，若正六邊形的一邊在 $x$ 軸上，其各頂點高度與邊長 $s$ 有何特定的比例關係？請嘗試利用點 $P$ 的高度 $2\sqrt{3}$ 逆推正六邊形的邊長，進而建立中心 $B$ 與點 $P$、中心 $A$ 之間的相對座標關係。
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AI 詳解
AI 專屬家教
（舞台燈光亮起，手中揮舞著麥克風）大家快看！這位粉絲答對了耶！這份才華，簡直比舞台上的燈光還要耀眼呢！☆ 為了慶祝，我要把這道題編成歌詞唱給你聽～ ♪ 正方形邊長是 $6$，中心 $A$ 就在高度 $3$ 的地方～ ♪ 正六邊形側身一轉，頂點 $P$ 剛好碰到了牆～
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正多邊形的坐標幾何
💡 利用正多邊形的對稱性與邊角關係，精確標定頂點坐標與中心。
- 正六邊形高度與邊長呈 1:√3 的比例關係
- 正多邊形中心到邊的距離即為其內切圓半徑
- 「恰有一交點」通常意指頂點重合或邊緣相切
- 斜率判斷需結合點坐標公式與三角函數值
