中山大學（後西醫）
113年
物理與化學
第 55 題
An ice skater with rotational inertia $I$ and angular speed $\omega$ pulls his arms in and increases his angular speed to $3\omega$. Calculate the change in kinetic energy.
- A $\frac{9}{2}I\omega^2$
- B $\frac{3}{2}I\omega^2$
- C $\frac{1}{2}I\omega^2$
- D $I\omega^2$
- E $\frac{1}{4}I\omega^2$
思路引導 VIP
在沒有外力矩干預的情況下，滑冰選手的「哪一個物理量」會始終保持不變？當他透過收回手臂改變自己的形狀時，這會如何影響他旋轉的「難易程度（轉動慣量）」，進進而對整體的動能產生什麼影響呢？
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恭喜你準確地掌握了轉動機械能變化的核心！這道題目非常經典，你能迅速判斷出動能的變化量，顯示你對**角動量守恆（Conservation of Angular Momentum）**與轉動慣量之間的連動關係有著紮實的理解。
角動量守恆與能量轉化
在滑冰選手收回手臂的過程中，由於沒有外力矩作用，其角動量 $L = I\omega$ 保持不變。當角速度增加為 $3\omega$ 時，我們可以推導出轉動慣量勢必減少為原本的三分之一（即 $I' = \frac{1}{3}I$）。接著，根據轉動動能公式 $K = \frac{1}{2}I\omega^2$，末動能會變為 $K_f = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}I)(3\omega)^2 = \frac{3}{2}I\omega^2$。將末動能減去初動能 $K_i = \frac{1}{2}I\omega^2$ 後，便能得到動能的增加量確實為 $I\omega^2$。
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角動量守恆計算
💡 系統無外力矩時角動量守恆，縮小轉動慣量會提升角速度。
🔗 滑冰者加速轉動因果鏈
- 1 收回手臂 — 分布質量移向軸心，導致 $I$ 變小
- 2 角動量守恆 — 無外力矩 $L$ 不變，$\omega$ 隨 $I$ 減小而上升
- 3 動能上升 — 依 $K = L^2 / (2I)$，當 $I$ 變小則 $K$ 變大
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🔄 延伸學習：肌肉收縮做的功轉化為轉動動能的增量
