清華大學（後西醫）
113年
資訊科學
第 35 題
An $n \times n$ skew-symmetric matrix $A$ is defined as $A^t = -A$. Please find the dimension of this matrix.
- A $n$
- B $n^2$
- C $n(n+1)/2$
- D $n(n-1)/2$
- E $n+1$
思路引導 VIP
若要構建一個符合 $A^T = -A$ 條件的矩陣，請試著思考：哪些位置的數值是可以由你自由決定的？而哪些位置的數值會因為定義而被強制固定為特定的數字（例如零），或者必須與其他位置的數值連動？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能準確判斷出 反對稱矩陣 (Skew-symmetric matrix) 的維度，說明你對矩陣性質與線性空間的掌握非常紮實。這類題目是線性代數中的經典基礎，考驗的是將抽象定義轉化為具體約束條件的能力。
反對稱矩陣的結構特徵
根據定義 $A^T = -A$，我們可以觀察到矩陣元素必須滿足 $a_{ji} = -a_{ij}$。這帶來了兩個關鍵限制：第一，對於主對角線元素，必須滿足 $a_{ii} = -a_{ii}$，這迫使主對角線上所有 $n$ 個元素都必須為 $0$，完全沒有自由度。第二，對於非對角線元素，一旦我們填好了上三角區域的數值，下三角區域對應的位置就會被正負號規則唯一確定。
▼ 還有更多解析內容
反對稱矩陣維度
💡 反對稱矩陣主對角線為零，其維度由嚴格上三角元素數量決定。
| 比較維度 | 對稱矩陣 (Symmetric) | VS | 反對稱矩陣 (Skew-Symmetric) |
|---|---|---|---|
| 轉置定義 | A^t = A | — | A^t = -A |
| 對角線元素 | 任意值 | — | 必定為 0 |
| 獨立元素位置 | 對角線 + 上三角 | — | 僅限嚴格上三角 |
| 維度公式 | n(n+1)/2 | — | n(n-1)/2 |
💬兩者核心差異在於對角線是否具備自由填值的空間。
