第 二 題

直接寫出理想氣體卡諾引擎熱效率公式，這是熱力學的基礎知識。熱效率 $\eta = 1 - Q_{out}/Q_{in}$，在卡諾循環中 $Q_H = T_H \Delta S$, $Q_C = T_C \Delta S$，因此 $\eta = 1 - T_C/T_H$。

將給定的 T-S 卡諾循環圖轉換為 P-V 圖。理想氣體的卡諾循環在 P-V 圖上是由兩條等溫線與兩條絕熱線（等熵線）組成的封閉圖形。要特別注意：絕熱線的斜率（$P \propto V^{-\gamma}$）比等溫線（$P \propto V^{-1}$）更陡峭。必須清楚標示 1→2（等溫膨脹：平緩下行）、2→3（等熵膨脹：陡峭下行）、3→4（等溫壓縮：平緩上行）、4→1（等熵壓縮：陡峭上行），並標出高低溫熱源 TH 與 TC。

考察真實氣體的凡德瓦方程式寫法。要寫出公式並簡單註明 a, b 代表的物理意義，以確保拿滿分。公式為 $(P + a/v^2)(v - b) = RT$ 或 $(P + an^2/V^2)(V - nb) = nRT$。

這是一個觀念題，考驗對「卡諾定理 (Carnot's theorem)」的理解。卡諾定理明確指出，所有在相同高低溫熱源之間運作的可逆熱機，其熱效率皆相等，且為最高效率。這個效率只與熱源的溫度有關，完全不取決於工作流體的種類或性質。因此不論是理想氣體還是凡德瓦氣體，只要是執行可逆卡諾循環，效率必定相同。