第 一 題

看到本題，首先辨識出這是一般大樣本「母體比例信賴區間」的基本題型。利用樣本資料先算出樣本比例 $\hat{p}$，由於樣本數 $n=400$ 夠大，根據中央極限定理，樣本比例呈漸近常態分配。因此可直接套用大樣本信賴區間公式 $\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$ 進行計算。

本題測驗給定最大允許誤差極限（Margin of Error, $e$）以決定「最小樣本數 $n$」的問題。公式為 $n \ge [Z_{\alpha/2}^2 \cdot p(1-p)] / e^2$。實務上 $p$ 是未知的，處理方式有兩種：一是沿用前一題算出的 $\hat{p}=0.1$ 作為事前估計值；二是在完全無資訊下採保守估計 $p=0.5$，此時得到的樣本數最大，能確保誤差不超過設定值。建議作答時同時陳述兩種觀點並列出計算，以彰顯專業嚴謹度，然後以沿用前題為首選作答。