地特三等申論題
114年
[統計] 抽樣方法與迴歸分析
第 二 題
📖 題組：
二、某位統計學家想估計 A 鎮居民每月生活花費。設該鎮有 N = 120 鄰，此統計學家隨機抽出 n = 4 鄰，再由其中抽出數戶，得資料如下：（單位：千元） 每鄰戶數M_i：80, 47, 62, 39 樣本戶數m_i：8, 5, 6, 4 \bar{y}_i：16, 30, 21, 45 試求：
二、某位統計學家想估計 A 鎮居民每月生活花費。設該鎮有 N = 120 鄰，此統計學家隨機抽出 n = 4 鄰，再由其中抽出數戶，得資料如下：（單位：千元） 每鄰戶數M_i：80, 47, 62, 39 樣本戶數m_i：8, 5, 6, 4 \bar{y}_i：16, 30, 21, 45 試求：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
(二)該鎮居民每月平均生活花費$\bar{\bar{Y}}$的 95%近似信賴區間。（18 分）
思路引導 VIP
接著要算 95% 近似信賴區間。難點在於算出「變異數估計」。在第一階段以放回 (with replacement) 的 PPS 進行兩階段抽樣時，其母體平均數估計量的變異數估計非常巧妙：我們只需要利用第一階段所求得之群集估計量（即這四個 $\bar{y}i$）之間的變異即可，不需要計算第二階段各群內的樣本變異（這解釋了題目為何不給每鄰樣本內的變異數）。 變異數估計式為 $v(\hat{\bar{\bar{Y}}}{pps}) = \frac{1}{n(n-1)} \sum_{i=1}^n (\bar{y}i - \hat{\bar{\bar{Y}}}{pps})^2$。算完後套用 $\hat{\bar{\bar{Y}}}_{pps} \pm Z \times \sqrt{v}$。由於題幹寫「近似信賴區間」，且未附 t 分配表，建議使用常態近似 $Z=1.96$ 計算。
小題 (一)
(一)該鎮居民每月平均生活花費$\bar{\bar{Y}}$的比例機率兩階段估計值。（7 分）
思路引導 VIP
看到「比例機率兩階段估計值」，應辨識出這是「機率與大小成比例抽樣」(Probability Proportional to Size, PPS) 的兩階段抽樣。此方法的核心精神是：第一階段選出 PSU (鄰) 的機率與其大小 (每鄰戶數 $M_i$) 成正比。在這種設計下，利用 Hansen-Hurwitz 估計式估計母體平均數時，各 PSU 的大小權重會與其被抽中之機率相抵銷，導致最終的兩階段母體平均無偏估計量，恰巧就等於各樣本群集平均數 $\bar{y}_i$ 的「簡單算術平均」。只需將四個 $\bar{y}_i$ 相加除以 $n$ 即可。