高考申論題
113年
[統計] 抽樣方法與迴歸分析
第 一 題
📖 題組：
假設某城市共有人口為 N = 24000人，為了研究此城市的失業人數，於是 以簡單隨機取樣自此城市中抽取 500 人，結果發現有 10 人失業。試求： （每小題 5 分，共 25 分）
假設某城市共有人口為 N = 24000人，為了研究此城市的失業人數，於是 以簡單隨機取樣自此城市中抽取 500 人，結果發現有 10 人失業。試求： （每小題 5 分，共 25 分）
📝 此題為申論題，共 5 小題
小題 (一)
此城市人口失業率的估計值。
思路引導 VIP
這是一題基礎的簡單隨機抽樣（SRS）問題。看到「比例」或「率」，首先要想到母體比例的估計公式。考生應辨識出母體總數 N 與樣本數 n，並直接以樣本比例作為母體比例的點估計值。
小題 (二)
此城市人口失業率估計量的標準誤的估計值。
思路引導 VIP
標準誤（Standard Error, SE）是衡量估計值精確度的指標。在抽樣方法中，必須注意「有限母體校正因子（fpc）」。當抽樣比例 $n/N$ 不可忽略時，必須將 $(1-f)$ 納入計算，其中 $f = n/N$。
小題 (三)
此城市人口失業率估計量的 95%近似誤差界限 B。
思路引導 VIP
誤差界限（Bound on the error of estimation, B）通常定義為 2 倍的標準誤（在大樣本下對應 95.44% 信賴度），但題目註記給了 $Z_{0.025} = 1.96$，因此應使用 $1.96 \times \widehat{SE}$ 來計算 95% 的誤差界限。
小題 (四)
此城市人口失業率的 95%近似信賴區間。
思路引導 VIP
信賴區間（CI）的結構非常固定：點估計值 ± 誤差界限。由於前幾小題已經算出了 $\hat{p}$ 和 $B$，直接相加減即可。
小題 (五)
若我們希望估計此城市人口失業率的誤差界限為 B = 5%，則須要在此
城市抽取多少人數才能達到我們的需求?（註：Z_0.025 = 1.96）。
思路引導 VIP
這題要求解樣本大小 $n$。公式中包含 $N$、$p$ 和 $B$。由於 $p$ 未知，通常有兩種處理方式：使用之前的估計值 $\hat{p}=0.02$（最保守建議），或使用 $p=0.5$（最大變異情況）。題目通常預期使用初步調查的 $\hat{p}$。