高考申論題
114年
[統計] 抽樣方法與迴歸分析
第 一 題
📖 題組：
某市政府若想估算現有樹木植栽之綠化的社區總面積（以平方公尺計），由於綠化面積隨社區規模大小而有很大差異，決定以社區規模先進行分層。若該市共有 280 個社區，依規模分為四類（分別為 A, B, C, D），採用比例配置（proportional allocation）法進行分層隨機抽樣得以下結果： 社區規模分類（層） A B C D $N_i$ 96 82 62 40 $n_i$ 16 13 10 6 $\bar{y}_i$ 183.6 383.0 590.5 772.4 $s_i^2$ 1071.9 9054.8 16794.2 72376.3 $N_i$、$n_i$、$\bar{y}_i$與$s_i^2$分別為第 $i$ 層的母體數、樣本數、樣本平均數及樣本變異數，$i$=A, B, C, D。
某市政府若想估算現有樹木植栽之綠化的社區總面積（以平方公尺計），由於綠化面積隨社區規模大小而有很大差異，決定以社區規模先進行分層。若該市共有 280 個社區，依規模分為四類（分別為 A, B, C, D），採用比例配置（proportional allocation）法進行分層隨機抽樣得以下結果： 社區規模分類（層） A B C D $N_i$ 96 82 62 40 $n_i$ 16 13 10 6 $\bar{y}_i$ 183.6 383.0 590.5 772.4 $s_i^2$ 1071.9 9054.8 16794.2 72376.3 $N_i$、$n_i$、$\bar{y}_i$與$s_i^2$分別為第 $i$ 層的母體數、樣本數、樣本平均數及樣本變異數，$i$=A, B, C, D。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
估計該市綠化社區的總面積。（5 分）
思路引導 VIP
看到題目要求「估計總面積」且已知為「分層隨機抽樣」，應立即聯想到分層母體總和的點估計公式 $\hat{\tau}_{st} = \sum N_i \bar{y}_i$。本題配分為 5 分，解題重心在於精確地將各層「母體數（$N_i$）」與「樣本平均數（$\bar{y}_i$）」相乘後加總，並明確列出逐步計算過程。
小題 (二)
針對小題(一)的估計結果，計算其 95%近似誤差界限。（10 分）
思路引導 VIP
本題重點在於分層隨機抽樣中「母體總和估計量」的變異數計算與誤差界限估計。考生首先應注意各層抽樣率（$n_i/N_i$）皆大於 5%，必須引入「有限母體校正因子（FPC）」。其次，雖然題目提及比例配置，但因各層樣本數已四捨五入給定，必須代入一般分層抽樣確切公式逐層計算變異數，最後乘上對應的 z 值（1.96 或 2）求出 95% 近似誤差界限。
小題 (三)
如果使用奈曼配置（Neyman allocation），在 5000 平方公尺的估計誤差的範圍內，求一個近似的樣本量來達到小題(二)的誤差界限。（15 分）
思路引導 VIP
面對此題，首先應確認估計目標為「母體總和（社區總面積）」而非母體平均數，接著判斷須採用「奈曼配置（Neyman allocation）」的樣本數決定公式。計算時，務必精確計算各層的標準差 $s_i$ 及 $N_i s_i$ 乘積，並定義求總和時的誤差界限參數 $D=B^2/Z^2$（未給定信賴水準時，通常預設 $Z=2$），最後代入考量有限母體校正（FPC）的總樣本數公式即可求解。