第 五 題

看到「母體常態、變異數未知、小樣本」應立刻想到使用 t 分配來建構信賴區間。解題關鍵在於先精確求出樣本平均數與樣本標準差，再查表找出對應自由度 (n-1) 的 t 臨界值，最後代入信賴區間公式進行計算。

看到「母體變異數未知」且要求「不偏估計量」，應立刻聯想到除以 n-1 的「樣本變異數 S²」。解題時需先區分「估計量(公式/統計量)」與「估計值(具體數值)」，先求出樣本平均數，計算離差平方和後，再除以自由度 n-1 即可得精確結果。

判斷母體分配特徵（常態分配）與樣本大小（n=8）。因題組未明示前題內容，需根據常態母體抽樣分配定理，全面列出樣本平均數（常態分配）、樣本變異數相關統計量（卡方分配）及母體變異數未知下的平均數樞紐量（t 分配）之對應分配與自由度以確保得分。

看到常態母體且要求估計標準差/變異數的信賴區間時，應立即聯想到利用「卡方分配（Chi-square distribution）」建構樞紐量。解題時需先算出樣本離均差平方和（SS），接著找出對應自由度及信賴水準的卡方臨界值，代入變異數信賴區間公式後再開平方根，即可求得母體標準差的信賴區間。

看到「母體服從常態分配」且要求「檢定母體變異數」，應立即聯想到使用卡方檢定（Chi-square test）。解題關鍵在於先計算出樣本平均數與樣本變異數（或離均差平方和），再代入卡方檢定統計量公式 $\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}$，並與雙尾檢定的臨界值進行比較。

看到母體服從常態分配且要求樣本變異數 $S^2$ 的機率，應立即聯想到「卡方分配（Chi-square Distribution）」。利用樞紐量 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$ 將不等式進行轉換，算出對應的卡方檢定統計量後，再查表求出機率值。