高考申論題
114年
[化學工程] 反應工程及單元操作
第 一 題
📖 題組：
黃銅小球半徑 r = 1.0 cm，置於溫度為 120℃的水浴中，均勻加熱後，取出置於溫度為 25℃的空氣中冷卻，其附近之對流係數 h=50 W/m²‧K。黃銅的物理性質為：熱傳導係數 k=109 W/m‧K，密度 ρ = 8500 kg/m³，Cp = 380 J/kg‧K。請回答下列問題：
黃銅小球半徑 r = 1.0 cm，置於溫度為 120℃的水浴中，均勻加熱後，取出置於溫度為 25℃的空氣中冷卻，其附近之對流係數 h=50 W/m²‧K。黃銅的物理性質為：熱傳導係數 k=109 W/m‧K，密度 ρ = 8500 kg/m³，Cp = 380 J/kg‧K。請回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
請計算黃銅小球在空氣中散熱時的 Biot Number。（6 分）
思路引導 VIP
看到求畢奧數（Biot Number），應立刻聯想到其定義式 Bi = (h·Lc)/k，其中 Lc 為特徵長度。對於球體，特徵長度定義為體積與表面積之比（Lc = r/3），代入數值並注意將半徑單位從 cm 換算為國際標準單位 m，即可求得無因次的 Bi 值。
小題 (二)
請判斷是否可以使用集中容量法（Lumped Capacitance Method），用單一平均溫度代表整個物體的瞬時溫度變化。（7 分）
思路引導 VIP
判斷集中容量法（Lumped Capacitance Method）是否適用的核心標準是計算「畢奧數（Biot number, Bi）」。考生應先求出球體的特徵長度（體積/表面積），再代入 Bi = hLc/k 進行檢驗，若 Bi < 0.1，則代表內部熱傳導阻力遠小於外部對流阻力，即可視整體溫度為均勻分佈。
小題 (三)
估算黃銅小球中心溫度降至 50°C 所需時間。（12 分）
思路引導 VIP
遇到固體冷卻或加熱問題，首要步驟是計算畢奧數（Biot number）以判斷內部熱傳阻力是否可忽略。若 Bi < 0.1，則可採用集總熱容法（Lumped Capacitance Method）將偏微分問題簡化為一階常微分方程式，直接求解溫度與時間之關係。
集中容量法與 Bi 數
💡 利用畢奧數 Bi 評估內部熱阻，簡化非穩態熱傳分析。
🔗 集中容量法解題流程
- 1 特徵長度 Lc — 計算 V/As，球體 r=1cm 須換算為 0.01m
- 2 Bi 數判定 — 計算 Bi = hLc/k，確認是否小於 0.1
- 3 模型套用 — Bi < 0.1 採用集中容量法，忽略內部溫度梯度
- 4 求取時間 t — 代入 ln 溫度比公式，利用已知物性求解
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🔄 延伸學習：若 Bi > 0.1，則須改採 Heisler 圖或無窮級數解進行分析。
