高考申論題
114年
[土木工程] 材料力學與結構學
第 二 題
如圖所示，一鋼梁表面上 C 點處之應力為：
σx = − 20 MPa, σy = 4 MPa, τxy = − 18 MPa
請求出圖示應力元素之主應力與面內最大剪應力之值與方位，並繪製圖形表示。（25 分）
（提示：σ1,2= (σx+σy)/2 ± sqrt(((σx-σy)/2)^2+τxy^2) ）
σx = − 20 MPa, σy = 4 MPa, τxy = − 18 MPa
請求出圖示應力元素之主應力與面內最大剪應力之值與方位，並繪製圖形表示。（25 分）
（提示：σ1,2= (σx+σy)/2 ± sqrt(((σx-σy)/2)^2+τxy^2) ）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到這類平面應力轉換題，首先確認給定應力的正負號慣例（拉正壓負，剪應力依右側面上方向決定）。接著可直接套用主應力與最大剪應力公式（或莫耳圓法）求出數值；最後利用 $\tan(2\theta)$ 公式求出方位角，務必代回原式確認該角度對應的是 $\sigma_1$ 還是 $\sigma_2$，以確保繪圖方向正確。
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AI 詳解
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【解題思路】運用平面應力轉換公式（或莫耳圓幾何關係），先求出平均應力與莫耳圓半徑以決定主應力與最大剪應力，再利用角度公式推導主平面與最大剪應力平面之方位。 【詳解】 已知：依據題目圖示與符號慣例（拉伸為正，剪應力在 x 面向上/ y 面向右為正）
▼ 還有更多解析內容
平面應力與主應力分析
💡 運用座標旋轉公式或莫耳圓求算應力元素之極值及其方位。
🔗 平面應力分析解題流程
- 1 已知參數確認 — 確認 σx、σy 及 τxy 之數值與正負號標記。
- 2 莫耳圓參數計算 — 求出平均應力 σavg 與半徑 R。
- 3 極值與方位求解 — 計算主應力 σ1,2、最大剪力 τmax 及其方位角 θp、θs。
- 4 繪圖與校核 — 繪製旋轉後的應力元素圖，標註正向力與剪力方向。
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🔄 延伸學習：延伸學習：主應力狀態下剪應力必為零，最大剪力面上的正向應力必為平均應力。
