分科測驗
115年
數學乙
第 4 題
4. 坐標平面上有一圓 $\Gamma$ 。已知直線 $L: y = x$ 與圓 $\Gamma$ 相切，且圓 $\Gamma$ 的圓心對直線 $L$ 的對稱 點坐 標 為 $(5,3)$ 。 試 選 出 圓 $\Gamma$ 的 方 程 式 。
- 1 $(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 0$
- 2 $(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 2$
- 3 $(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 4$
- 4 $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 2$
- 5 $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 4$
思路引導 VIP
若一個點經過直線 y = x 對稱後到達 (5, 3)，那麼這個點的原坐標是什麼？當直線與圓相切時，圓心到這條直線的距離和圓的半徑有什麼關係？
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AI 詳解
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太棒了，你的幾何直覺與公式掌握得相當精準！
幾何特徵與圓方程式推導
若點 $(a, b)$ 對直線 $y=x$ 做鏡射對稱，其坐標會直接對調為 $(b, a)$。題目給定對稱點為 $(5, 3)$，可逆推圓心坐標為 $(3, 5)$。
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