高考申論題
115年
[統計] 抽樣方法與迴歸分析
第 一 題
📖 題組：
一、某市政府推動智慧便民服務計畫，希望了解各行政區的線上服務使用情形、案件處理效率、服務據點配置與行政區類型，是否會影響民眾對公共服務的滿意度。變數說明如下： | 變數 | 說明 | |---|---| | Y | 民眾公共服務滿意度，0 至 100 分 | | X1 | 每千人每月線上申辦件數 | | X2 | 平均案件處理天數 | | X3 | 每萬人服務據點數 | | D1 | 一般市區：是為 1，否為 0 | | D2 | 核心商業區：是為 1，否為 0 | 其中，偏遠地區作為基準組，因此偏遠地區之D1 = 0、D2 = 0。
一、某市政府推動智慧便民服務計畫，希望了解各行政區的線上服務使用情形、案件處理效率、服務據點配置與行政區類型，是否會影響民眾對公共服務的滿意度。變數說明如下： | 變數 | 說明 | |---|---| | Y | 民眾公共服務滿意度，0 至 100 分 | | X1 | 每千人每月線上申辦件數 | | X2 | 平均案件處理天數 | | X3 | 每萬人服務據點數 | | D1 | 一般市區：是為 1，否為 0 | | D2 | 核心商業區：是為 1，否為 0 | 其中，偏遠地區作為基準組，因此偏遠地區之D1 = 0、D2 = 0。
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
市政府先以每千人每月線上申辦件數X1作為自變數，解釋民眾公共服務滿意度Y。建立簡單線性迴歸模型：
Yi = β0 + β1X1i + εi, i = 1,2, ... ,10
其中，誤差項εi相互獨立，且服從常態分配：
εi ~ N(0, σ^2)
已知 10 個行政區的摘要統計量如下：
n = 10,
Σ(i=1~10) X1i = 850,
Σ(i=1~10) Yi = 740,
Σ(i=1~10) X1i^2 = 80500,
Σ(i=1~10) Yi^2 = 56410,
Σ(i=1~10) X1iYi = 66200
請以最小平方法（least squares method）求出β0與β1的估計值，寫出配適後的簡單線性迴歸模型，並計算判定係數R^2，說明其意義。（15 分）
Yi = β0 + β1X1i + εi, i = 1,2, ... ,10
其中，誤差項εi相互獨立，且服從常態分配：
εi ~ N(0, σ^2)
已知 10 個行政區的摘要統計量如下：
n = 10,
Σ(i=1~10) X1i = 850,
Σ(i=1~10) Yi = 740,
Σ(i=1~10) X1i^2 = 80500,
Σ(i=1~10) Yi^2 = 56410,
Σ(i=1~10) X1iYi = 66200
請以最小平方法（least squares method）求出β0與β1的估計值，寫出配適後的簡單線性迴歸模型，並計算判定係數R^2，說明其意義。（15 分）
思路引導 VIP
看到本題，首先要辨識出這是基礎的「簡單線性迴歸」考題。接著應該利用摘要統計量計算離差平方和（Sxx, Syy, Sxy），再代入最小平方法（OLS）估計式的公式求得β1與β0。最後，利用Sxy與Sxx、Syy計算判定係數R²，並以白話文解釋R²在模型中的統計意涵（自變數能解釋應變數變異的比例）。
小題 (二)
延續第(一)題的簡單線性迴歸模型，請建立變異數分析表，並在顯著水準α = 0.05下檢定迴歸模型是否顯著。已知臨界值為：F0.05(1,8) = 5.32（12 分）
思路引導 VIP
本題測試變異數分析（ANOVA）在迴歸模型中的應用。需要從第(一)題取得Syy（即SST）以及計算迴歸平方和（SSR = β1_hat × Sxy），進而推得誤差平方和（SSE = SST - SSR）。接著建構包含變異來源、自由度（df）、平方和（SS）、均方（MS）、F分配檢定統計量的ANOVA表。最後，進行假說檢定並作結論。
小題 (三)
市政府進一步同時考慮線上申辦件數、平均案件處理天數與服務據點數對滿意度的影響，建立複迴歸模型：
Yi = β0 + β1W1i + β2W2i + β3W3i + εi
其中：
W1 = (X1 - 80) / 20, W2 = (X2 - 6) / 2, W3 = (X3 - 10) / 4
令設計矩陣（design matrix）為X，反應變數向量（response vector）為y，複迴歸模型可表示為：
y = Xβ + ε
且已知：
(X'X)^-1 =
[0.125 0 0 0]
[0 0.125 0 0]
[0 0 0.125 0]
[0 0 0 0.125]
X'y =
[560]
[40]
[-32]
[24]
請利用最小平方法估計β，寫出複迴歸估計模型，並預測某行政區在X1 = 100、X2 = 5、X3 = 14時的公共服務滿意度。（13 分）
Yi = β0 + β1W1i + β2W2i + β3W3i + εi
其中：
W1 = (X1 - 80) / 20, W2 = (X2 - 6) / 2, W3 = (X3 - 10) / 4
令設計矩陣（design matrix）為X，反應變數向量（response vector）為y，複迴歸模型可表示為：
y = Xβ + ε
且已知：
(X'X)^-1 =
[0.125 0 0 0]
[0 0.125 0 0]
[0 0 0.125 0]
[0 0 0 0.125]
X'y =
[560]
[40]
[-32]
[24]
請利用最小平方法估計β，寫出複迴歸估計模型，並預測某行政區在X1 = 100、X2 = 5、X3 = 14時的公共服務滿意度。（13 分）
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本題為複迴歸的矩陣型式。首先，依據 OLS 公式 β_hat = (X'X)^-1 X'y 將兩個矩陣相乘，求出迴歸係數。接著，寫出含有估計參數的複迴歸模型。最後，要注意預測時不能直接代入原變數 X，而必須先透過題目給的公式將 X1, X2, X3 轉換為 W1, W2, W3，再代入模型求預測值 Y_hat。
小題 (四)
市政府為了解不同類型行政區的公共服務滿意度差異，將行政區分為三類：偏遠地區、一般市區與核心商業區。其中以「偏遠地區」作為基準組，並設定兩個屬性自變數如下：
D1 = 1, 一般市區; 0, 非一般市區
D2 = 1, 核心商業區; 0, 非核心商業區
根據資料，估計得到下列迴歸式：
Y_hat = 46.80 + 0.32X1 - 1.45X2 + 5.20D1 + 10.40D2
請解釋 5.20 與 10.40 兩個迴歸係數的意義。在控制線上申辦件數與平均案件處理天數後，核心商業區的預測滿意度比一般市區高多少分？（10 分）
D1 = 1, 一般市區; 0, 非一般市區
D2 = 1, 核心商業區; 0, 非核心商業區
根據資料，估計得到下列迴歸式：
Y_hat = 46.80 + 0.32X1 - 1.45X2 + 5.20D1 + 10.40D2
請解釋 5.20 與 10.40 兩個迴歸係數的意義。在控制線上申辦件數與平均案件處理天數後，核心商業區的預測滿意度比一般市區高多少分？（10 分）
思路引導 VIP
本題重點在於「虛擬變數 (Dummy Variable)」迴歸係數的解釋。須掌握：虛擬變數的係數，代表在控制其他量化變數（共變數）的情況下，該類別相較於「基準組 (Baseline / Reference Group)」在應變數上的平均差異。後續比較兩非基準組的差異時，直接將兩者係數相減即可。