高考申論題
114年
[統計] 抽樣方法與迴歸分析
第 一 題
📖 題組：
簡單線性迴歸模型如下： Yi = β0 + β1Xi + εi, i = 1, …, n 其中 εi 為 iid 且服從 N(0, σ^2)。今某高中老師收集 12 位學生的英文成績（X）及數學成績（Y）如下： X: 65, 63, 68, 65, 66, 65, 68, 67, 72, 67, 70, 63 Y: 63, 65, 71, 64, 68, 63, 65, 66, 70, 68, 69, 67 (一)請以此資料配適簡單線性迴歸模型。（10 分） (二)以所配適的模型，預測當學生英文成績為 69 時，數學成績為何？（5 分） (三)請以 α = 0.05，進行雙尾檢定 H0 : β1 = 0，H1 : β1 ≠ 0。請寫出詳細檢定過程與結果（註：t10,0.025 = 2.2281；t11,0.025 = 2.2010；t12,0.025 = 2.1788）。（10 分）
簡單線性迴歸模型如下： Yi = β0 + β1Xi + εi, i = 1, …, n 其中 εi 為 iid 且服從 N(0, σ^2)。今某高中老師收集 12 位學生的英文成績（X）及數學成績（Y）如下： X: 65, 63, 68, 65, 66, 65, 68, 67, 72, 67, 70, 63 Y: 63, 65, 71, 64, 68, 63, 65, 66, 70, 68, 69, 67 (一)請以此資料配適簡單線性迴歸模型。（10 分） (二)以所配適的模型，預測當學生英文成績為 69 時，數學成績為何？（5 分） (三)請以 α = 0.05，進行雙尾檢定 H0 : β1 = 0，H1 : β1 ≠ 0。請寫出詳細檢定過程與結果（註：t10,0.025 = 2.2281；t11,0.025 = 2.2010；t12,0.025 = 2.1788）。（10 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
請以此資料配適簡單線性迴歸模型。（10 分）
思路引導 VIP
配適簡單線性迴歸模型需利用普通最小平方法（OLS）求得截距項與斜率估計值。第一步先精確計算 X 與 Y 的基本統計量（總和、平方和與交乘和），第二步代入離差平方和公式求得斜率 $\hat{\beta}_1$ 與截距 $\hat{\beta}_0$，計算過程中建議保留分數以確保最終結果精確。
小題 (二)
以所配適的模型，預測當學生英文成績為 69 時，數學成績為何？（5 分）
思路引導 VIP
本題測驗簡單線性迴歸模型的「點預測」。作答時需先引用（或計算出）第一小題所求得的最小平方法（OLS）估計參數（斜率與截距），再將給定的解釋變數數值（X=69）代入配適方程式中求出應變數的預測值。
小題 (三)
請以 α = 0.05，進行雙尾檢定 H0 : β1 = 0，H1 : β1 ≠ 0。請寫出詳細檢定過程與結果（註：t10,0.025 = 2.2281；t11,0.025 = 2.2010；t12,0.025 = 2.1788）。（10 分）
思路引導 VIP
這是一道標準的簡單線性迴歸斜率檢定題。解題重點在於先算出離差平方和與交叉和（Sxx, Syy, Sxy），求出殘差平方和（SSE）及均方誤差（MSE）後，再計算斜率估計值的標準誤，最後帶入 t 檢定統計量並與臨界值比對作結論。
簡單線性迴歸分析
💡 利用最小平方法估計模型參數，進行預測並對斜率進行顯著性檢定。
🔗 迴歸分析解題三部曲
- 1 數據彙整與估計 — 計算總和、平方和與交叉乘積和，求得迴歸係數估計值。
- 2 建立模型與預測 — 寫出估計式 Y=a+bX，並代入特定 X 值求得點預測值。
- 3 顯著性檢定 — 計算標準誤與 t 統計量，與臨界值比較判斷是否拒絕 H0。
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🔄 延伸學習：延伸學習：區間預測（信賴區間與預測區間）的計算差異。
