高考申論題
114年
[統計] 抽樣方法與迴歸分析
第 三 題
統計學家對某組數據，以最小平方法所配適的迴歸線為：
ŷi = β̂0 + β̂1x1i
其中最小平方估計式 β̂1 = S_x1y / S_x1x1 = Σ(x1i - x̄1)(yi - ȳ) / Σ(x1i - x̄1)^2。但實際上，反應值 yi 還會受到第二個變數 x2i 影響，因此真實的迴歸線如下：
E(yi) = β0 + β1x1i + β2x2i
在此情形下，請問以最小平方估計式 β̂1 來估計 β1 的偏誤量（bias）為多少？請詳細列出偏誤量的數學式及其推導過程。（25 分）
ŷi = β̂0 + β̂1x1i
其中最小平方估計式 β̂1 = S_x1y / S_x1x1 = Σ(x1i - x̄1)(yi - ȳ) / Σ(x1i - x̄1)^2。但實際上，反應值 yi 還會受到第二個變數 x2i 影響，因此真實的迴歸線如下：
E(yi) = β0 + β1x1i + β2x2i
在此情形下，請問以最小平方估計式 β̂1 來估計 β1 的偏誤量（bias）為多少？請詳細列出偏誤量的數學式及其推導過程。（25 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到此題應立刻聯想到計量經濟學中經典的「遺漏變數偏誤 (Omitted Variable Bias)」推導。解題關鍵在於將「真實的母體模型 yi」代入「配適模型的估計式 β̂1」中，並利用期望值運算與離差交叉相乘和的性質展開，即可求出偏誤項。
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AI 詳解
AI 專屬家教
【解題思路】利用遺漏變數偏誤（Omitted Variable Bias）的原理，將真實模型的 yi 代入估計式 β̂1 中，並取期望值即可求得偏誤量。 【詳解】 已知：
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遺漏變數偏誤
💡 當模型遺漏重要解釋變數時，導致估計量不再具備不偏性的現象。
🔗 遺漏變數偏誤（OVB）推導邏輯
- 1 代入真值 — 將 $y_i = \beta_0 + \beta_1x_{1i} + \beta_2x_{2i} + \epsilon_i$ 代入估計式
- 2 項次展開 — 利用離差性質消去 $\beta_0$ 並拆解出 $\beta_1$ 與 $\beta_2$ 項
- 3 取期望值 — 在給定自變數下取 $E(\hat{\beta}_1)$，令誤差項期望值為 0
- 4 求偏誤量 — 計算 $E(\hat{\beta}_1) - \beta_1$ 剩餘的部分即為 Bias
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🔄 延伸學習：延伸學習：若 $x_1, x_2$ 正交（不相關），則偏誤為 0。
