高考申論題
113年
[統計] 抽樣方法與迴歸分析
第 一 題
📖 題組：
對一組樣本大小 n = 100的資料配適一複迴歸模型 Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + β3X3i + εi ， 其中εi為 iid N(0, σ2)。進行分析後，得到如下結果： σ̂ = 5，s = sqrt( 1/(n-1) * sum(Yi - Y_bar)^2 ) = 10 。
對一組樣本大小 n = 100的資料配適一複迴歸模型 Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + β3X3i + εi ， 其中εi為 iid N(0, σ2)。進行分析後，得到如下結果： σ̂ = 5，s = sqrt( 1/(n-1) * sum(Yi - Y_bar)^2 ) = 10 。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
依據前述資訊，完成下列變異數分析表（將此表繪製於試卷上，並寫出詳細計算過程，再將結果填入表中）：（9 分）
變異來源 平方和 自由度 均方 F
迴歸 (a) (d) (g) (i)
誤差 (b) (e) (h)
總和 (c) (f)
思路引導 VIP
這題是複迴歸 ANOVA 表的填空。關鍵在於：
- 自由度：總自由度 $n-1$，迴歸自由度等於自變數個數 $k$，誤差自由度 $n-k-1$。
小題 (二)
若要檢定β1, β2, β3是否同時為 0，請列出虛無假設、對立假設、F值的分配（需標明自由度）、以及在顯著水準 α = 0.05下拒絕虛無假設的條件。（8 分）
思路引導 VIP
這是複迴歸的整體顯著性檢定（Overall F-test）。考生需列出標準的假設檢定步驟。
小題 (三)
計算 R^2，並說明其意義。（8 分）
思路引導 VIP
判定係數 $R^2$ 是衡量模型解釋力的指標。公式為 $SSR/SST$。意義必須提到「由自變數所能解釋的總變異比例」。