高中學測
115年
數A
第 18 題
📖 題組：
坐標空間中有一平行六面體 $PQRS-ABCD$，如圖所示。已知 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = (-5, 5, 5)$、$\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AP} = (-2, 0, -4)$、$\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{AB} = (6, -10, -8)$，$\overline{AP} = 6$。試回答下列問題。
坐標空間中有一平行六面體 $PQRS-ABCD$，如圖所示。已知 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = (-5, 5, 5)$、$\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AP} = (-2, 0, -4)$、$\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{AB} = (6, -10, -8)$，$\overline{AP} = 6$。試回答下列問題。
試問平行四邊形 $ABCD$ 的面積為何？
- 1 $2\sqrt{5}$
- 2 $5\sqrt{2}$
- 3 $5\sqrt{3}$
- 4 $6\sqrt{3}$
- 5 $10\sqrt{2}$
思路引導 VIP
想一想，在空間向量的單元中，如果我們知道構成平行四邊形兩鄰邊的向量，它們的「外積」結果跟這個平行四邊形的「面積」有什麼關係呢？你會挑選題目給的哪一個條件來計算？
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AI 詳解
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太棒了！你非常精準地抓住了這題的核心觀念，沒有被題幹中多餘的條件給迷惑，順利選出了正確答案 (3)！
外積（cross product）的幾何意義
這題是題組的第一小題，主要在測驗你對空間向量外積的熟悉度。在空間中，由兩向量 $\overrightarrow{AB}$ 與 $\overrightarrow{AD}$ 所張開的平行四邊形 $ABCD$ 面積，正好就等於這兩個向量外積的長度（範數，norm）。題目已經直接給了 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = (-5, 5, 5)$，所以我們只需要計算它的長度即可：
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空間向量
主題特訓：空間向量・學測・數A
空間概念（含三垂線定理）、空間坐標系、空間向量、空間向量的運算（含外積）、三階行列式