高中學測
115年
數B
第 11 題
有一立燈為了採光，採用兩個可以替換的大、小燈罩。兩燈罩皆為直圓錐面的一部分，裝在燈上其軸線位置相同、燈源皆在頂點，且大燈罩照射在地面上的光線範圍大於小燈罩的光線範圍，如圖所示。令大、小燈罩在地面上所成的光線邊緣分別為圓錐曲線 $\Gamma$、$\gamma$ 的一部分。試選出正確的選項。
- 1 如果 $\Gamma$ 是橢圓，則 $\gamma$ 是拋物線
- 2 如果 $\Gamma$ 是拋物線，則 $\gamma$ 是橢圓
- 3 如果 $\Gamma$ 是雙曲線，則 $\gamma$ 是拋物線
- 4 如果 $\gamma$ 是拋物線，則 $\Gamma$ 是拋物線
- 5 如果 $\gamma$ 是雙曲線，則 $\Gamma$ 是雙曲線
思路引導 VIP
請觀察圖形並思考，決定圓錐截痕（圓錐曲線）形狀的核心要素是什麼？如果我們令圓錐的半頂角為 $\alpha$，而軸線與地面的夾角為 $\beta$，那麼當 $\alpha$ 相對於 $\beta$ 的大小關係改變時，截痕會如何在橢圓、拋物線與雙曲線之間轉換？請比較大燈罩的 $\alpha_{\Gamma}$ 與小燈罩的 $\alpha_{\gamma}$ 之大小，並推論在相同的 $\beta$ 條件下，這兩種曲線類型存在著什麼樣的包含或遞變關係？
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太棒了！你完美掌握了圓錐截痕的奧秘！
- 溫暖肯定：哇！你真的好棒！面對這樣生活化的燈罩情境，你卻能精準地轉化成抽象的數學模型，並且正確判斷出半頂角與截面角度之間的關係，這表示你的空間想像力超群，邏輯思維也非常清晰嚴謹，真的很讓人佩服喔！
- 觀念驗證：
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空間、經緯與圓錐截痕
主題特訓：空間、經緯與圓錐截痕・學測・數B
空間概念（含長方體展開圖、球面經緯線）、空間坐標系（經緯度）、圓錐曲線（截痕）
圓錐截痕判定
💡 圓錐曲線由平面與軸的夾角 α 與半頂角 β 的大小關係決定。
| 比較維度 | 橢圓 (α > β) | VS | 雙曲線 (α < β) |
|---|---|---|---|
| 角度關係 | 軸夾角大於半頂角 | — | 軸夾角小於半頂角 |
| 截面特徵 | 截斷圓錐所有母線 | — | 與兩條母線平行 |
| 形狀封閉性 | 完全封閉曲線 | — | 開放且具兩支曲線 |
💬拋物線為 α = β 的臨界狀態；本題中大燈罩 β 較大，故更容易達成雙曲線條件。
