高中學測
115年
數A
第 17 題
直角 $\Delta ABC$ 中，$\angle CAB$ 為直角，$\overline{AB}$ 邊上一點 $D$，滿足 $\angle BCD = 2 \angle ACD$，且 $\overline{BC} = 2 \overline{BD}$。若 $\overrightarrow{AD} = k \overrightarrow{AB}$，則 $k =$ ______。（化為最簡分數）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
若令 $\angle ACD = \theta$，則 $\angle ACB$ 該如何表示？請試著利用 $\overline{AC}$ 作為橋樑，將已知條件 $\overline{BC} = 2 \overline{BD}$ 轉化為關於 $\theta$ 的三角函數方程式（提示：$\overline{BD} = \overline{AB} - \overline{AD}$），並思考如何透過三倍角公式或三角恆等式求出 $\sin \theta$ 的關鍵數值，進而推導出 $k = \frac{\tan \theta}{\tan 3\theta}$ 的結果。
三角比與幾何比例
💡 利用三角函數恆等式將幾何條件轉化為代數方程求解。
- 將幾何邊長以三角比 sin 或 cos 標示
- 利用和差角公式簡化處理角度倍數關係
- 將向量比例 k 轉換為線段長度的比值
- 掌握三倍角公式與二倍角公式的代數運算
