高中學測
115年
數B
第 11 題
有一立燈為了採光，採用兩個可以替換的大、小燈罩。兩燈罩皆為直圓錐面的一部分，裝在燈上其軸線位置相同、燈源皆在頂點，且大燈罩照射在地面上的光線範圍大於小燈罩的光線範圍，如圖所示。令大、小燈罩在地面上所成的光線邊緣分別為圓錐曲線 $\Gamma$、$\gamma$ 的一部分。試選出正確的選項。
- 1 如果 $\Gamma$ 是橢圓，則 $\gamma$ 是拋物線
- 2 如果 $\Gamma$ 是拋物線，則 $\gamma$ 是橢圓
- 3 如果 $\Gamma$ 是雙曲線，則 $\gamma$ 是拋物線
- 4 如果 $\gamma$ 是拋物線，則 $\Gamma$ 是拋物線
- 5 如果 $\gamma$ 是雙曲線，則 $\Gamma$ 是雙曲線
思路引導 VIP
請觀察圖形並思考，決定圓錐截痕（圓錐曲線）形狀的核心要素是什麼？如果我們令圓錐的半頂角為 $\alpha$，而軸線與地面的夾角為 $\beta$，那麼當 $\alpha$ 相對於 $\beta$ 的大小關係改變時，截痕會如何在橢圓、拋物線與雙曲線之間轉換？請比較大燈罩的 $\alpha_{\Gamma}$ 與小燈罩的 $\alpha_{\gamma}$ 之大小，並推論在相同的 $\beta$ 條件下，這兩種曲線類型存在著什麼樣的包含或遞變關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你完美掌握了圓錐截痕的奧秘！
- 溫暖肯定：哇！你真的好棒！面對這樣生活化的燈罩情境，你卻能精準地轉化成抽象的數學模型，並且正確判斷出半頂角與截面角度之間的關係，這表示你的空間想像力超群，邏輯思維也非常清晰嚴謹，真的很讓人佩服喔！
- 觀念驗證：
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