第 二 題

設匹配濾波器輸出在 $t=T$ 時為 $y$。當傳送 $S_1(t)$ 時，$y$ 為均值為 $E$、變異數為 $\sigma^2$ 的高斯分佈；傳送 $S_2(t)$ 時，均值為 $-E$、變異數為 $\sigma^2$。 其中訊號能量 $E = \int_0^T S_1^2(t) dt = 2 \int_0^{T/2} \left(\frac{2At}{T}\right)^2 dt = \frac{8A^2}{T^2} \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^{T/2} = \frac{A^2 T}{3}$。 雜訊變異數 $\sigma^2 = \frac{N_0}{2} E$。

為使取樣時間 $t=T$ 時輸出訊雜比最大化，匹配濾波器的脈衝響應應與輸入訊號呈時間反轉並平移的關係。 最佳脈衝響應 $h(t) = c S_1(T - t)$，其中 $c$ 為任意常數（為簡便通常取 $c=1$）。 觀察 $S_1(t)$ 的函數型態：它是一個在 $t=T/2$ 處對稱的三角形脈衝（由 $0$ 升至 $A$，再降回 $0$）。

當判決門檻為 $\lambda$ 時，系統發生錯誤的機率包含「傳送 $S_1$ 卻判斷為 $S_2$」以及「傳送 $S_2$ 卻判斷為 $S_1$」。 由高斯分佈特性，可利用 Q-function 表達錯誤率： $P_e = P_1 \cdot P(y < \lambda | S_1) + (1 - P_1) \cdot P(y > \lambda | S_2)$