普考申論題
105年
[經建行政] 統計學概要
第 四 題
📖 題組：
甲、乙進行擲骰子比賽，兩人同時各擲一個公正骰子，若擲出的點數相差 1 或 2 時，則甲贏得比賽，比賽結束；若擲出的點數相差 3、4 或 5 時，則乙贏得比賽，比賽結束；若點數相同時，則兩人再擲一次，直至分出勝負才停止比賽。假設 X 表示兩人擲出的點數差。
甲、乙進行擲骰子比賽，兩人同時各擲一個公正骰子，若擲出的點數相差 1 或 2 時，則甲贏得比賽，比賽結束；若擲出的點數相差 3、4 或 5 時，則乙贏得比賽，比賽結束；若點數相同時，則兩人再擲一次，直至分出勝負才停止比賽。假設 X 表示兩人擲出的點數差。
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (四)
試求甲在第二次投擲時贏得比賽的機率。（5 分）
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考生看到此題應先釐清「單次投擲」的樣本空間與各事件（甲贏、乙贏、平手）發生的古典機率。接著利用每次投擲為「獨立事件」的特性，以機率乘法法則計算「第一次平手且第二次甲贏」的聯合機率。
小題 (一)
試問兩班全體學生統計學期末考試之平均成績為多少分？（6 分）
思路引導 VIP
本題考查合併平均數（Combined Mean）的計算，題目中給的標準差為干擾資訊。解題關鍵在於利用兩班各自的人數為權數，先計算出兩班的總分，再除以總人數即可求得全體平均成績。
小題 (二)
甲班學生之考試成績頗不理想，故老師決定每位學生之成績均「乘以 2 後再減 5 分」，試問經調整分數後，該班學生成績之平均數及標準差分別為何？（8 分）
思路引導 VIP
本題測驗「數據的線性轉換對平均數與標準差之影響」。看到「乘以 a 再減 b」的分數調整，應直覺反應：平均數會同等受到乘法與加減法的影響 (aμ + b)，而標準差屬於離差測度，僅受乘數的絕對值影響 (|a|σ)，不受平移（加減法）影響。
小題 (三)
乙班學生中有 1 人夾帶小抄舞弊，其成績為 60 分，經開會決議應以 0 分計算，試問乙班統計學期末考試成績之平均數及標準差應修正為多少分？（6 分）
思路引導 VIP
面對成績修正的題型，核心思維是利用『總和（ΣX）』與『平方和（ΣX²）』的加減特性進行調整。先從已知的平均數與標準差反推原數據的 ΣX 與 ΣX²，扣除錯誤數值並加入正確數值後，再重新代入公式計算新指標。