普考申論題
107年
[經建行政] 統計學概要
第 三 題
📖 題組：
一個袋子中裝有 5 顆大小、重量均相同的小球，其中 4 顆為紅球，1 顆為白球，今每次從袋子中隨機抽出 1 顆球，且抽後不放回，連續抽取 2 次，令隨機變數 X = { 1, 若第1次抽到的為紅球; 0, 若第1次抽到的為白球 }, Y = { 1, 若第2次抽到的為紅球; 0, 若第2次抽到的為白球 }，則：
一個袋子中裝有 5 顆大小、重量均相同的小球，其中 4 顆為紅球，1 顆為白球，今每次從袋子中隨機抽出 1 顆球，且抽後不放回，連續抽取 2 次，令隨機變數 X = { 1, 若第1次抽到的為紅球; 0, 若第1次抽到的為白球 }, Y = { 1, 若第2次抽到的為紅球; 0, 若第2次抽到的為白球 }，則：
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (三)
P(X ≥ Y) =？（8 分）
思路引導 VIP
這是一題送分題。有了上一題的聯合機率分配表，只要找出符合「X 大於等於 Y」條件的所有 (x,y) 組合，然後把這些組合的機率加總起來即可。條件是 X ≥ Y，看看剛剛的三個可能結果：(0,1)不符合；(1,0)符合；(1,1)符合。加總這兩項的機率即可。
小題 (一)
請寫出(X ,Y)的可能結果。（6 分）
思路引導 VIP
這是一題要求列出樣本空間的基礎題。袋中有 4 紅 1 白，抽後不放回。X和Y都只有0和1兩種可能，組合起來有 (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)。但是要注意一個隱藏限制：「袋中只有 1 顆白球」。既然不放回，就不可能兩次都抽到白球！所以 (0,0) 是一個不可能發生的結果（或者機率為0）。作答時，應精確列出機率大於 0 的可能結果。
小題 (二)
隨機變數 X 與 Y 的聯合間斷機率分配 f(x, y) 為何？（8 分）
思路引導 VIP
延續前一題，要求寫出聯合機率質量函數 (Joint PMF)。因為是不放回抽樣，這是一個條件機率的計算。P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y | X=x)。將上一題的三個可能結果，依據樹狀圖或條件機率逐一算出機率，然後用表格或條列式表達即可。
小題 (四)
若此母體為一常態母體，試以此組樣本資料之訊息，求 $\mu$ 之 90%的信賴區間為何？（5 分）
思路引導 VIP
看到母體為常態分配但「母體變異數未知」且為小樣本（n=9 < 30）時，估計母體平均數的信賴區間必須使用 t 分配。解題重點在於先精確計算出「樣本平均數」與「樣本變異數（除以 n-1）」，再代入 t 分配信賴區間公式求得上下限。