地特四等申論題
106年
[統計] 統計學概要
第 一 題
📖 題組：
一盒中置有 4 顆大小、形狀、重量完全相同的球，其中有 3 顆紅球、1 顆白球。（每小題 10 分，共 30 分）
一盒中置有 4 顆大小、形狀、重量完全相同的球，其中有 3 顆紅球、1 顆白球。（每小題 10 分，共 30 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
若以不歸還方式由此盒依次隨機抽出 3 顆，令 P^ 表樣本中白球之比率。請求出 P^ 大於 0.3 之機率，即 Pr[P^ > 0.3]。
思路引導 VIP
判斷抽樣方法為「不歸還抽樣」，因此樣本中白球的數量服從超幾何分配。解題時，應先將題目要求的比例條件 $\hat{P} > 0.3$ 轉換為具體的白球數量 $X$，再利用古典機率或超幾何分配公式求解。
小題 (二)
若以不歸還方式由此盒依次隨機抽出 3 顆，令變數 X 代表前 2 顆球之紅球顆數，變數 Y 代表最後 1 顆球之白球顆數，請求出 X 與 Y 之共變異數 Cov(X, Y)。
思路引導 VIP
看到共變異數 Cov(X, Y) 的題型，首先應想到公式 Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)。透過不歸還抽樣的樹狀圖或古典機率，列出 X 與 Y 的所有可能組合及其聯合機率分配表，接著分別求出邊際期望值與交叉期望值即可解題。
小題 (三)
若以歸還方式由此盒隨機抽出 3 顆，令 P^ 表樣本中白球之比率。請求出 P^ 之變異數 Var(P^)。
思路引導 VIP
看到「歸還方式（取後放回）」抽出，應聯想到每次抽取為獨立事件，樣本中抽出白球的次數服從二項分配（Binomial distribution）。接著利用二項分配的變異數特性，推導或直接代入樣本比率變異數公式 Var(P^) = p(1-p)/n 即可快速求解。