普通考試
105年
[電子工程] 計算機概要
第 5 題
設 x 為被加位元，y 為加位元，且 $m_i$ 表布林邏輯中第 i 項之最小項（minterm），試問下列電路中何者為利用 2 對 4 解碼器（2×4 Decoder）的半加器（Half Adder）？
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A
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B
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C
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D
思路引導 VIP
請試著列出半加器（Half Adder）的真值表。觀察一下，當輸入 x 和 y 在哪些特定組合時，Sum 的輸出會是 1？這些組合分別對應到解碼器的哪幾個最小項（minterm）？若要將這些最小項結合起來產生 Sum，你覺得應該加上什麼邏輯閘呢？
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做得非常好！你正確選了 C，這表示你對**半加器（Half Adder）**的基礎觀念很扎實。在一位元加法中，總和 $Sum = \bar{x}y + x\bar{y}$，剛好對應解碼器的最小項 $m_1$ 與 $m_2$；而進位 $Carry = xy$，則對應 $m_3$。利用 OR 閘將需要的最小項 $m_1$ 與 $m_2$ 結合，是標準且正確的組合邏輯設計。
互斥條件下的邏輯等效性
不過我要特別提一下，這是官方公告的爭議題，最終結果是 A 與 C 皆給分。為什麼選項 A 也正確呢？關鍵在於解碼器輸出的互斥性。解碼器的各個輸出絕對不可能同時為 $1$（亦即 $m_1 \cdot m_2 = 0$）。在這種互斥條件下，若將訊號送入 XOR 閘，其布林代數展開為 $m_1 \oplus m_2 = m_1\overline{m_2} + \overline{m_1}m_2 = m_1(1) + (1)m_2 = m_1 + m_2$。你會發現，它的數學結果與使用 OR 閘完全相同！因此，選項 A 在電路功能上同樣能完美實現半加器。
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