第 四 題

看到求「最終的響應值」，首先應聯想到「終值定理 (Final Value Theorem)」。解題關鍵為先確認閉迴路系統在給定的 Kp 下是否穩定，接著將單位步階輸入 R(s)=1/s 代入閉迴路轉移函數求得 Y(s)，最後取 lim_{s→0} sY(s) 即可求得結果。

看到本題，首先要辨識出這是一個「機電整合系統建模」問題。思考順序應為：1. 建立直流馬達的電路與扭矩方程式。2. 處理齒輪箱的傳動比例，將二次側（輸出軸與齒條）的慣量與阻尼等效折算至一次側（馬達端）。注意齒輪比的影響（N1/N2），以及齒條直線運動與旋轉運動的幾何關係（x = rθ2）。3. 將所有方程式聯立，消去中間變數，求出輸入電壓 Ea(s) 與輸出位移 X(s) 的轉移函數。作答時必須按步就班列出各子系統的微積分方程式，再轉換至 s 域。

本題為標準的控制器設計題。解題步驟：1. 將規格（16.3% 超越量、Ts=2秒）轉換為二階系統標準參數（阻尼比 ζ、自然頻率 ωn）。2. 寫出期望的閉迴路特徵方程式。3. 將 PD 控制器 Gc(s) = Kp + Kd s 與受控體 G(s) 結合，推導實際的閉迴路特徵方程式。4. 透過比較係數法，求得未知的 Kp 與 Kd。

求系統的最終響應值應優先考慮使用「終值定理」，但使用前務必先檢查系統穩定性（確保特徵方程式的根均位於左半 s 平面）。確認穩定後，代入脈衝輸入的拉氏轉換 $R(s)=1$，並計算極限 $\lim_{s \to 0} sY(s)$ 即可求得解答。