高考申論題
105年
[測量製圖] 大地測量(包括測量平差法)
第 五 題
如圖二所示，測線 AB 之方位角α ，邊長 S 為觀測量，觀測量及其標準誤差如下：
α ＝119°22´37〞± 10〞、S＝2340.00 m± 0.04 m，A 點坐標為 XA＝1000.00 m± 0.05 m，YA＝3000.00 m± 0.05 m。假設所有已知數據皆互相獨立，請計算 B 點坐標（XB, YB）及其標準誤差並計算 XB、YB間之相關係數。（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題是「非線性誤差傳播定律」的典型應用。解題步驟：1. 先列出 B 點坐標的計算公式（注意圖二中 X 軸向右、Y 軸向上，$\alpha$ 是從 Y 軸順時針起算，因此 $X_B = X_A + S \sin\alpha$, $Y_B = Y_A + S \cos\alpha$）。 2. 代入數值求得 $X_B, Y_B$。 3. 建立變數向量並寫出協方差矩陣 $\Sigma_{LL}$，特別注意角度誤差 $\pm10''$ 必須轉換為「弧度」參與運算！ 4. 對坐標公式進行偏微分，求取 Jacobian 矩陣 (雅可比矩陣) $J$。 5. 利用誤差傳播定律 $\Sigma_{BB} = J \cdot \Sigma_{LL} \cdot J^T$ 計算，對角線開根號即為標準誤差，非對角線元素用以計算相關係數 $\rho$。
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
【考點分析】 考查極坐標轉換為直角坐標的計算，以及多變數非線性函數的誤差傳播定律（Law of Error Propagation）之應用。 【理論/法規依據】
▼ 還有更多解析內容