地特三等申論題
106年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
針對家戶之所得(以X表示)與消費支出(以Y表示)之關係,考慮建立下列廻歸模型:Y₁ = β₁√X₁ +ɛ₁, i=1,2,...,n;其中E1, E2, E3, ..., En 為相互獨立且具常態分配N(0, σ²)之隨機變數。 請回答下列問題:(每小題10分,共40分)
針對家戶之所得(以X表示)與消費支出(以Y表示)之關係,考慮建立下列廻歸模型:Y₁ = β₁√X₁ +ɛ₁, i=1,2,...,n;其中E1, E2, E3, ..., En 為相互獨立且具常態分配N(0, σ²)之隨機變數。 請回答下列問題:(每小題10分,共40分)
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
求出ẞ之最小平方估計量ẞ。
思路引導 VIP
看到求「最小平方估計量（LSE）」的題目，應直覺想到建立誤差平方和（SSE）函數。將模型轉換為誤差平方和的函數，對未知參數（此題為 β₁）微分並令其為零，解出的參數即為所求。
小題 (二)
求出題(一)中,β₁之變異數Var(β₁)。
思路引導 VIP
看到「求參數變異數」，首先聯想到該參數的最小平方法估計量（LSE）。在無截距項模型中，先推導出估計量公式，再利用變異數的線性運算性質與獨立性計算其變異數。
小題 (三)
欲檢定H:β₁ = 0 vs. H₁ :β₁≠0,已收集下列資料
X₁ 4 9 4 16 1
Y₁ 2 5 2 10 1
請利用收集之資料,以 0.05 之顯著水準,檢定上述之假設。
(註:若令T(d)為具有自由度為d之t分配的隨機變數,則已知P(T(3) < 2.353) = 0.95,
P(T(3) <3.182) = 0.975, P(T(4) < 2.132) = 0.95, P(T(4) <2.776) = 0.975
思路引導 VIP
本題屬於無截距項的簡單線性迴歸模型。解題重點在於先將自變數轉換為 $Z_i = \sqrt{X_i}$，接著利用無截距迴歸公式求出斜率估計式 $\hat{\beta}_1$、誤差變異數估計值（MSE，自由度為 $n-1$），最後代入 t 檢定統計量與臨界值比較即可得出結論。
小題 (四)
若真實之廻歸模型為Y₁ = β + β₁√X₁+E₁,請用題(←)之戶去估計真實模型中之β,求出其偏誤(bias)。
思路引導 VIP
本題測驗「模型設定錯誤（遺漏截距項）」對最小平方估計量不偏性的影響。解題關鍵在於先寫出原設定模型（無截距項）的估計式，接著將「真實模型」的 Y 值代入該估計式中展開並取期望值，最後根據偏誤定義（估計量期望值減去真實參數）求出結果。