地特三等申論題
111年
[經建行政] 統計學
第 二 題
📖 題組：
二、假設Xi為解釋變數、Yi為反應變數，且i=1,2,...,n。為了描述兩變數之關聯性，擬建立簡單線性迴歸模型：Yi = β0 + β1Xi + εi，其中ε1, ..., εn為獨立且相同 N(0, σ^2) 分佈之誤差。請利用下方訊息回答問題： n=14，ΣXi=630，ΣYi=520，ΣXiYi=20940，ΣXi^2=30300，ΣYi^2=22482。
二、假設Xi為解釋變數、Yi為反應變數，且i=1,2,...,n。為了描述兩變數之關聯性，擬建立簡單線性迴歸模型：Yi = β0 + β1Xi + εi，其中ε1, ..., εn為獨立且相同 N(0, σ^2) 分佈之誤差。請利用下方訊息回答問題： n=14，ΣXi=630，ΣYi=520，ΣXiYi=20940，ΣXi^2=30300，ΣYi^2=22482。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (二)
(二)試計算並解釋判定係數（Coefficient of Determination; R2）及樣本相關係數（Sample Correlation Coefficient）。（10 分）
思路引導 VIP
看到本題，首先需將題目給定的未校正原始平方和（Raw Sum of Squares）轉換為離差平方和與交乘積和（SSxx, SSyy, SSxy）。接著利用樣本相關係數定義 r = SSxy / √(SSxx·SSyy) 進行求解，並利用簡單線性迴歸中 R² = r² 的關係式得出判定係數。最後，務必回歸統計學理，精確解釋兩者分別代表「線性關聯程度與方向」及「總變異被模型解釋的比例」。
小題 (一)
(一)試計算並寫出最小平方估計方程式。（10 分）
思路引導 VIP
本題考查簡單線性迴歸模型的最小平方法（OLS）參數估計。看到這題應先計算各變數的樣本平均數，接著代入公式求出自變數的變異（SSxx）與共變異（SSxy），最後依序推導出斜率與截距的估計量，並寫出完整的配適方程式。
小題 (三)
(三)試計算並解釋當 X = 45時，Y 的期望值之 95%信賴區間。（10 分）
（參考值： t0.025,12 = 2.179, t0.05,12 = 1.782, t0.025,13 = 2.160, t0.05,13 = 1.771, t0.025,14 = 2.145, t0.05,14 = 1.761 ）
（參考值： t0.025,12 = 2.179, t0.05,12 = 1.782, t0.025,13 = 2.160, t0.05,13 = 1.771, t0.025,14 = 2.145, t0.05,14 = 1.761 ）
思路引導 VIP
本題測驗「給定解釋變數下，反應變數期望值之信賴區間」的計算。解題第一步先求出樣本平均數 $\bar{X}$，會驚喜發現題目要求的 $X=45$ 剛好等於 $\bar{X}$，此時估計量方差公式中的 $\frac{(X_0 - \bar{X})^2}{SS_{XX}}$ 項為零，可大幅簡化標準誤計算！接著依序算出 $SS_{XX}$、$SS_{XY}$、$SS_{YY}$ 以取得 $MSE$，再套入 $t$ 分配建構區間。